4.3.2 等比数列的前n项和公式-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.2 等比数列的前项和公式 1等比数列的前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (1)证明 等比数列的首项为，公比为，则其前项和是 ， 两边乘以公比得 得， 当时，； 当时，, 故等比数列的前项和为. 以上的方法称之为错位相减法. (2)当公比时，，是的正比例函数; 当公比时，，它可变形为，设，上式可写成.由此可见，非常数列的等比数列的前项和是由关于的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 即若某数列的前项和公式为 (，且，)，则此数列一定是等比数列． 【例】等比数列的公比，首项，则等于 . 2 基本性质 (1)若,则成等比数列，且公比； (，是偶数时，) 证明 . (2)在等比数列中，当总项数为时，. 证明 . (3). 证明 . 【题型1】 等比数列前项和的有关计算问题 【典题1】 记正项等比数列的前项和是，若，，则　　) A． B． C． D． 【典题2】已知等比数列的前项和是，若，，且，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【典题3】已知等比数列的公比为，若，则 . 【巩固练习】 1.已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，则(　　) A． B． C． D． 2.等比数列的前项和为，，是与的等比中项，则的值为(　　) A． B． C． D． 3.若是等比数列的前项和，成等差数列，且，则　　) A． B． C． D． 4.已知等比数列的前项和是，若，，则　　) A．或 B．或 C． D． 5.已知等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2】 等比数列前项和的性质应用 【典题1】 在等比数列中，已知，求. 【巩固练习】 1.设等比函数的前项和为，若，则(　　) A． B． C． D． 2.等比数列中，，，则的前项和为(　　) A． B． C． D．3 【题型3】 综合问题 【典题1】 已知等比数列的前项和为，，． (1)求等比数列的公比； (2)求． 【典题2】某地本年度旅游业收入估计为万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加. (1)求年内旅游业的总收入； (2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过万元． 【巩固练习】 1.中国古代数学著作《算法统宗》中，载有一些关于等比数列的问题．如：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”问：此人最后一天走的路程是(　　) A 里 B.里 C. 里 D.里 2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要(　　) A.天 B.天 C. 天 D.天 3.如图，在边长为的等边中，圆为的内切圆，圆与圆外切，且与相切，…，圆与圆外切，且与相切，如此无限继续下去．记圆的面积为． 证明是等比数列；求的值． 4.已知单调递减的等比数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式；(2)求满足的所有正整数的值． 5.已知公比小于的等比数列中，其前项和为，，． (1)求；(2)求证：． 【A组---基础题】 1.已知等比数列的公比，前项和是，若，，则　　) A． B． C． D． 2.已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是(　　) A． B． C． D． 3.已知各项均为正数的等比数列的前项和是，且满足成等差数列，则的值为(　　) A． B． C． D． 4.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前天的倍，天共织布尺，问第五天织布的尺数是多少？你的答案是(　　) A. B. C. D. 5.(多选)已知是公比的正项等比数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(　　) A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为的等差数列 6.已知等比数列的前项和是，且，则　　． 7.已知正项等比数列的前项和为且，则的最小值为