6.3 平面向量线性运算的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

6.3　平面向量线性运算的应用

学习目标

1.通过向量在平面几何中的应用,会用平面向量线性运算解决平面几何中的问题,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.

2.通过向量在物理中的应用,熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用,提升实际应用、直观想象、数学运算的核心素养.

1.向量在平面几何中的应用

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:

思考:根据你对向量知识的理解,你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题?

答案:可以利用平面向量描述有关全等、相似、平行等关系,可以解决距离、长度等几何问题.

2.向量在物理中的应用

(1)物理中常见的向量有:位移、力、速度、加速度等.

(2)力的合成与分解是向量的加、减法运算,其运算法则是平行四边形法则和三角形法则.

　利用向量判定直线平行(三点共线)

[例1]

如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:

(1)DE∥BC;

(2)D,M,B三点共线.

证明:

如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

令||=1,则||=1,||=2.

因为CE⊥AB,而AD=DC,

所以四边形AECD为正方形.

所以可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).

(1)因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),

=(0,1)-(1,0)=(-1,1),

所以=,所以∥,

即DE∥BC.

(2)连接MB,MD,因为M为EC的中点,

所以M(0,),

所以=(-1,1)-(0,)=(-1,),

=(1,0)-(0,)=(1,-).

所以=-,所以∥.

又与有公共点M,

所以D,M,B三点共线.

判定两直线平行(三点共线),若坐标未知或不易建立平面直角坐标系,则应用共线向量基本定理来得出结论;若坐标已知或容易得到,则可以通过向量共线的坐标表示得出结论.同时,需要注意直线平行(三点共线)与向量共线的区别.

针对训练: