6.3 平面向量线性运算的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

6.3　平面向量线性运算的应用 学习目标 1.通过向量在平面几何中的应用,会用平面向量线性运算解决平面几何中的问题,提升直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.通过向量在物理中的应用,熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用,提升实际应用、直观想象、数学运算的核心素养. 1.向量在平面几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 思考:根据你对向量知识的理解,你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题? 答案:可以利用平面向量描述有关全等、相似、平行等关系,可以解决距离、长度等几何问题. 2.向量在物理中的应用 (1)物理中常见的向量有:位移、力、速度、加速度等. (2)力的合成与分解是向量的加、减法运算,其运算法则是平行四边形法则和三角形法则. 　利用向量判定直线平行(三点共线) [例1] 如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明: (1)DE∥BC; (2)D,M,B三点共线. 证明: 如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令||=1,则||=1,||=2. 因为CE⊥AB,而AD=DC, 所以四边形AECD为正方形. 所以可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). (1)因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1), 所以=,所以∥, 即DE∥BC. (2)连接MB,MD,因为M为EC的中点, 所以M(0,), 所以=(-1,1)-(0,)=(-1,), =(1,0)-(0,)=(1,-). 所以=-,所以∥. 又与有公共点M, 所以D,M,B三点共线. 判定两直线平行(三点共线),若坐标未知或不易建立平面直角坐标系,则应用共线向量基本定理来得出结论;若坐标已知或容易得到,则可以通过向量共线的坐标表示得出结论.同时,需要注意直线平行(三点共线)与向量共线的区别. 针对训练: 如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==. 求证:点E,O,F在同一直线上. 证明:设=m,=n, 由==,得E,F分别是CD,AB的三等分点, 所以=+=+ =-m+(m+n)=m+n, =+=+ =(m+n)-m=m+n. 所以=. 又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上. 　利用向量求线段长度或证明线段相等 [例2] 已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,设AC=m,BC=n. (1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB; (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示). (1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0). 因为D为AB的中点, 所以D(,), 所以||=, ||=, 所以||=||,即CD=AB. (2)解:因为E为CD的中点, 所以E(,),设F(x,0), 则=(,-m), =(x,-m). 因为A,E,F三点共线,所以=λ,λ∈R, 即(x,-m)=λ(,-m). 则 故λ=,即x=,所以F(,0), 所以||=, 即AF=. 平面几何中求线段的长度问题,在向量中就是求向量的模的问题,可适当构造向量,利用向量知识求解.利用向量求线段长度的关系有两种方法:(1)待定系数法,结合共线向量基本定理和平面向量基本定理求解线段比例关系.(2)建立平面直角坐标系,设定端点坐标,利用向量坐标表示求解线段关系. 针对训练:在平面直角坐标系xOy中,点O是坐标原点,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,3),B(-1,-2),C(-2,-1),求对角线AC及BD的长. 解:设D(x,y),由=,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以D(1,4),=(-4,-4),=(2,6),所以||=4,||=2. 　平面向量在物理中的应用 [例3] 一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2 km/h,求船实际航行速度的大小与方向.(用与水流速间的夹角表示) 解: 如图,设表示船垂直于对岸的速度,表示水流的速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则就是船实际航行的速度. 在Rt△ABC中,||=2,||=2, 所以||===4, tan∠CAB==, 所以∠CAB=60°. 故船实际航行速度的大小为4 km/h,方向与水流速间的夹角为60°. (1)解答本题的关键是作出相应图形,以帮助建模,分析解题思路. (2)向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后用所获得的结果解释物理现象.