6.1 平面向量及其线性运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

6.1　平面向量及其线性运算 6.1.1　向量的概念 学习目标 1.通过向量及有关概念的学习,理解向量的概念,掌握向量的表示方法、记法;培养数学抽象、直观想象及逻辑推理的核心素养. 2.阅读课本,了解零向量及单位向量,理解向量的相等与平行,提升分析问题与解决问题的核心素养. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量),向量的大小也称为向量的模(或长度). (2)标量:只有大小的量称为标量. 思考1:两个标量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?两个向量的模能比较大小吗? 答案:不能.因为向量是有方向的,但两个向量的模能比较大小. 2.向量的几何表示 (1)向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. (2)向量可以用有向线段始点和终点的字母表示,始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为,此时向量的模用||表示;向量还可用小写字母表示,如a,b,c,…,此时向量a的模用|a|表示. (3)始点和终点相同的向量称为零向量,即0;零向量的模为0,即|0|=0;零向量的方向是不确定的. (4)单位向量:模等于1的向量称为单位向量;e是单位向量的充要条件是|e|=1. 思考2:若将平面内所有的单位向量的始点放在同一点,那么它们的终点构成的图形是什么形状? 答案:它们的终点构成了以始点为圆心,1为半径的圆. 3.向量的相等与平行 (1)一般地,把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量;向量a和b相等,记作a=b. (2)如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行;规定零向量与任意向量平行;向量a和b平行,记作a∥b;两个向量平行也称为两个向量共线. 思考3:向量共线与向量相等有什么关系? 答案:两个向量相等,则这两个向量一定共线,反之不一定成立. (1)向量平行不具有传递性. 向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,则未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量,当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行.但若b≠0,则必有a∥b,b∥c⇒a∥c.因此,解答问题时,要看清题目中是任意向量还是任意非零向量. (2)用相等向量或平行向量来推导点共线问题 已知,,均为非零向量. ①若=,则A,B,C三点共线. ②若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线. ③若∥,则A,B,C三点共线. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　向量的有关概念 [例1] 有下列说法: ①若a≠b,则a一定不与b共线; ②若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点; ③在▱ABCD中,一定有=; ④若向量a与任一向量平行,则a=0; ⑤若四边形ABCD中,=且||=||,则四边形ABCD是正方形. 其中正确的说法是　　　　.(填序号)  解析:对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故②不正确;对于③,在▱ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故③正确;④显然正确;对于⑤,在四边形ABCD中,若=,则由相等向量的定义可知ABDC,故四边形ABCD是平行四边形,又||=||,所以平行四边形ABCD是菱形,故⑤不正确.故正确的说法是③④. 答案:③④ 首先,要清楚向量的两个要素,即大小和方向;其次,要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解.要分别掌握它们的特征,共线向量又称平行向量,并规定,零向量与任一向量平行;相等向量是指大小相等,且方向相同的向量;零向量的大小为零,它的方向是任意的.考虑问题要全面,注意零向量的特殊性. 针对训练:下列说法不正确的是(　　) A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点,且共线的向量,终点也必相同 解析:显然,选项A,B,C说法正确,由共线向量知两个有共同起点,且共线的向量其终点不一定相同,所以选项D不正确.故选D. 　相等向量与共线向量 [例2] 如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中: (1)写出与相等的向量; (2)写出与共线的向量; (3)写出与的模相等的向量; (4)判断向量与是否相等; (5)写出与相等的向量; (6)写出与共线的向量. 解:(1)与相等的向量为. (2)与共线的向量为,,. (3)与的模相等的向量为,,,,,,. (4)向量与不相等.因为它们的方向不相同. (5)与相等的向量为. (6)与共线的向量为,,. 在图形中寻找共线向量、相等向量的方法 (1)在平面图形中寻找共线向量时