4.3 指数函数与对数函数的关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系

学习目标

1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间关系的学习,了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.培养直观想象的核心素养.

2.通过指数函数与对数函数综合应用的学习,能够利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.提升数学运算、逻辑推理的核心素养.

3.在掌握指数函数与对数函数图像与性质的基础上,能够利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题,提升分析问题与解决问题、读图与识图的核心素养.

1.反函数

(1)反函数的概念:

一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.

(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).

2.指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数.

(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax的图像关于直线y=x对称.

思考1:函数y=2x与y=log2x的定义域与值域有何关系?

答案:y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),而y=log2x的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义域和值域互换.

思考2:函数y=2x与y=log2x的图像有什么关系?它们的单调性有什么关系?

答案:函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称,它们的单调性相同.

反函数的性质

(1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.

(2)y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.

(3)单调函数的反函数一定存在,且互为反函数的两个函数的单调性相同.即如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在.此时,若y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;若y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数.

(4)由性质可知,若函数y=f(x)的图像上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图像上;反之,若点(b,a)在y=f(x)的反函数的图像上,则点(a,b)必在函数y=f(x)的图像上.

(5)特别地,若互为反函数的两个函数是同一个函数,则该函数的图像关于直线y=x对称,如反比例函数y=(k≠0).

　求函数的反函数

[例1] 求下列函数的反函数.

(1)f(x)=()x;(2)f(x)=5x+1;

(3)f(x)=x2(x≤0).

解:(1)由y=f(x)=()x,

得x=loy,且y>0,

所以f-1(x)=lox(x>0).

(2)由y=f(x)=5x+1,得x=,

所以f-1(x)=(x∈R).

(3)由y=f(x)=x2得x=±.

因为x≤0,所以x=-.

所以f-1(x)=-(x≥0).

求反函数的一般步骤:

(1)求值域:由函数y=f(x)求y的范围.

(2)解出x:由y=f(x)解出x=f-1(y).若求出的x不唯一,要根据条件中x的范围取舍,只取一个.

(3)得反函数:将x,y互换得y=f-1(x),注意反函数的定义域.