专题10 二次函数与幂函数（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（考点讲与练）

专题10 二次函数与幂函数 一、考点要求 考试内容 考试要求 1. 二次函数图像与性质 2. 二次函数应用 3. 幂函数图像与性质 4. 幂函数应用 掌握 掌握 掌握 掌握 2、 考点梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 概念方法微思考 1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件． 提示　a>0且Δ≤0. 3．函数y＝2x2是幂函数吗？ 提示　不是． 三、考点剖析 考点一、幂函数图像与性质 【例1】已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A. B．1 C. D．2 【答案】　C 【解析】　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 【变式练习1】幂函数f (x)＝(a∈Z)为偶函数，且f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】　C 【解析】　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2， f (x)＝(a∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C. 【变式练习2】若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 【答案】　D 【解析】　设f (x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f (x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D. 【变式练习3】幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　) A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】　C 【解析】　∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f (x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f (x)＝x－4为偶函数．∴m＝1. 考点二、幂函数应用 【例2】若，则实数a的取值范围是____________． 【答案】　(－∞，－1)∪ 【解析】　不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 【变式练习】若f (x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 【答案】　C 【解析】　设f (x)＝xα，则＝2α＝3， ∴f ＝α＝. 考点三：二次函数图像与性质 【例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0. 【答案】　>　<　< 【解析】　∵a<0，－>0，c>0，∴b>0，ac<0. 设y＝f (x)＝ax2＋bx＋c， 则a－b＋c＝f (－1)<0. 【变式练习】 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　) 【答案】　C 【解析】　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C. 考点四：二次函数的值域、单调性 【例4】函数f (x)＝ax2＋(a－