4.1 实数指数幂及其运算法则 课件-2023届广东省高职高考高三数学一轮复习

广东省 高职高考数学总复习 1 第四章 指数函数与对数函数 第一节 实数指数幂及其运算法则 第二节 指数函数 第三节 对数与对数函数 第四节 反函数 知识结构 考纲要求 知识内容 考试层次要求 了解 理解 掌握 n次根式的意义 ✔ 有理指数幂的概念及运算性质 ✔ 指数函数的概论 ✔ 指数函数的图像和性质 ✔ 对数的概念（含常用对数、自然对数）及其运算性质 ✔ 对数函数的概念 ✔ 对数函数的图像和性质 ✔ 反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系 ✔ 求一些简单函数的反函数 ✔ 第一节 实数指数幂及其运算法则 知识清单 考点一 指数幂的性质与运算 考点二 幂函数 考点一 指数幂的性质与运算 1.定义 （1）正整数指数幂： （2）负整数指数幂： （3）分数指数幂： （4）零指数幂： 考点一 指数幂的性质与运算 2. 有理数指数幂的性质 一般地，如果xn=a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，n∈N* 称为根式. n称为根指数，a称为被开方数. 考点一 指数幂的性质与运算 3. 根式 性质 当n是奇数时， 当n是偶数时， 负数没有偶次方根 零的任何次根都是零 当n为任意正整数时, 知识清单 考点一 指数幂的性质与运算 考点二 幂函数 考点二 幂函数 1、幂函数的概念 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数. 2、幂函数的性质 幂函数图像分布在第一、二、三象限，第四象限无图像. 幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称) 是奇函数时，图像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图像只分布在第一象限. 所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义， 并且图像都经过点(1，1). 如果α>0，则幂函数的图像过原点，并且在［0，+∞)上为增函数.如果α<0，则幂函数的图像在(0，+∞)上为减函数，在第一象限内，图像无限接近x轴与y轴. 图像分布 过定点 单调性 考点二 幂函数 2、幂函数的性质 奇偶性 图像 特征 当α为奇数时，幂函数为奇函数； 当α为偶数时，幂函数为偶函数. 当α= (其中p，q互质，p和q∈Z)， 若p为奇数q为奇数，则 是奇函数； 若p为奇数q为偶数，则 是偶函数； 若p为偶数q为奇数，则 是非奇非偶函数. 幂函数y=xα,x∈(0，+∞)， 当α>1时，若0<x<1，其图像在直线y=x下方， 若x>1，其图像在直线y=x上方； 当α<1时，若0<x<1，其图像在直线y=x上方，若x>1，其图像在直线y=x下方. 图像 性质 考点二 幂函数 2、幂函数的性质 几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示 函数 图像 性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 y=x-2 {x|x≠0} {y|y>0} 在(-∞,0) 上单调递增, 在(0,+∞) 上单调递减 偶函数 关于y轴对称 y=x0 {x|x≠0} {y|y=1} 无增减性 偶函数 关于y轴对称 考点二 幂函数 2、幂函数的性质 几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示 函数 图像 性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 y=x {x|x≥0} {y|y≥0} 在(0,+∞) 上单调递增 非奇非偶函数 无 y=x x∈R y∈R 在(-∞,+∞) 上单调递增 奇函数 关于原点对称 考点二 幂函数 2、幂函数的性质 函数 图像 性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 y=x x∈R y∈R 在(-∞,+∞) 上单调递增 奇函数 关于原点 对称 y=x x∈R {y|y≥0} 在(-∞,0) 上单调递减, 在(0,+∞) 上单调递增 偶函数 关于y轴对称 y=x x∈R y∈R 在(-∞,+∞) 上单调递增 奇函数 关于原点对称 注意：幂运算时，注意将小数指数、根式都统一为分数指数，以利于变换. 典例精解 典例精解 典例精解 典例精解 典例精解 典例精解 例3 下列结论中正确的是( ). A.幂函数的图像都经过（0，0）（1，1）两点 B.幂函数的图像不可能在第四象限 C.当α>0时，幂函数y=xα的值随x增大而增大 D.当α=0时，幂函数y=xα的图像是一条直线 典例精解 解析 当α>0时，幂函数图像才经过（0，0），（1，1）两点 此时函数在（0，+∞）内为增函数； 当α<0时，幂函数图像只经过（1，1）点， 此时函数在（0，+∞）内为减函数； 当α=0时，图像不经过点（0，0）. 而当x>0时，y>0. 故本题选B. 技巧 点拨 1 2