3.2 函数的性质 课件-2023届广东省高职高考数学总复习

第二节 函数的性质 知识清单 考点一 函数的单调性 考点二 函数的奇偶性 考点一 函数的单调性 1.函数单调性的概念 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 当 时,有 ，那么函数f(x)在此区间上是单调递增(增函数); 当 时,有 ,那么函数f(x)在此区间上单调递减(减函数). 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说f(x)在此区间上具有单调性，这个区间叫作单调区间. 2.单调函数的图像 增函数的图像从左往右呈上升趋势,减函数的图像从左往右呈下降趋势. 3.函数单调性证明的一般过程 考点一 函数的单调性 1 在指定区间内任取两个自变量的值 2 作差 ，通过因式分解、配方或有理化等手段对差进行变形. 3 判断 的符号,由定义得出单调性. 考点一 函数的单调性 4.常见函数的单调性 知识清单 考点一 函数的单调性 考点二 函数的奇偶性 考点二 函数的奇偶性 1.轴对称和中心对称的图形 一般地,设点P(a,b)为平面上任意一点,则点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b), 点P (a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b),点P(a,b)关于原点的对称点的坐标为(-a,-b). 结论:关于谁,谁不变;关于原点都改变. 对于函数图像,我们有如下的结论: (1)如果函数图像上任意一点P关于原点的对称点P'也在函数的图像上,那么,函数图像关于原点对称,原点O称为这个函数图像的对称中心. (2)如果函数图像上任意一点P关于y轴的对称点P'也在函数的图像上,那么,函数图像关于y 轴对称,y轴称为这个函数图像的对称轴. 考点二 函数的奇偶性 2.函数奇偶性的定义和性质 如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则这个函数是奇函数.奇函数的图像关于原点中心对称，且在其对称的单调区间上具有相同的单调性。 如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则这个函数是偶函数.偶函数的图像关于y轴对称，且在其对称的单调区间上具有相反的单调性。 如果f(x)是奇函数或偶函数,我们就说f(x)具有奇偶性.否则就是非奇非偶函数。 奇函数 偶函数 奇偶性 考点二 函数的奇偶性 3.判断奇偶性的步骤 y=f(x)是奇函数,则f(x)的图像关于原点对称;y=f(x)是偶函数,则f(x)的图像关于y 轴对称. 奇函数在其对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在其对称的单调区间上具有相反的单调性. （2）检查函数的定义域是否关于原点对称. 若定义域不关于原点对称,则一定是非奇非偶函数; 若定义域关于原点对称,则进行下一步计算。 （3）计算出f(-x)的值 （1）求函数的定义域 （4）判断f(-x)和f(x)的关系 定义法 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则f(x)为偶函数. 图像法 根据y=f(x)是奇函数,则f(x)的图像关于原点对称;y=f(x)是偶函数,则f(x)的图像关于y轴对称来判定 常见函数的奇偶性 考点二 函数的奇偶性 函数奇偶性的性质 考点二 函数的奇偶性 例1 判断下列函数的增减性 典例精解 (1)函数y=2x-3在R上是________函数; (2)函数 的单调递增区间是_________ ,单调递减区间是________ ; (3)函数 在(0,+∞)上是___________函数 典例精解 解析 这些初等函数:一次函数、二次函数、反比例函数、对数函数和指数函数(实际上还包括三角 函数),可画出所给函数的图像进行判断. (1)增; (2)[1,+∞),(-∞,1]; (3)减. 技巧点播 熟记常见函数的单调性对解题有很大的好处,上述各函数的图像如图3-1所示. 图3-1 典例精解 减 减 典例精解 例2 讨论函数 上的单调性. 解析 在(1,+∞)上任取两数 因为