2.1.1平面（四点共面、三点共线、三线共点） 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版必修2

1 四点共面，三点共线，三线共点 1. 四点共面 找两条相交直线或两条平行直线 2. 三点共线 3. 三线共点 (1)找两个平面的交线（公理一、公理二） (2)证明点是这两个平面的公共点（公理一） (3)即点在交线上(公理三) (1)先找两线交于一点 (2)转化为此点在第三条线上（公理一） (3)即三点共线(公理三)得三线共点 2 已知是正方体，点在上，且，求证：四点共面 在上取一点使得，连接 显然四边形是平行四边形 所以// 同理四边形是平行四边形 所以//且 又//，且 所以// ， 所以四边形是平行四边形 所以𝑪𝑵// 即// 所以四点共面 1. 四点共面 找两条相交直线或两条平行直线 3 正方体中，点，分别是棱长和的中点，求证： （1），，，四点共面；（2），，三线共点 连接， 连接 中位线可知 有 又正方体可知平行四边形 因此 所以，，，四点共面 1. 四点共面 找两条相交直线或两条平行直线 4 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，. 求证：四点共面。 延长交于点 因为 延长交于点 同理可得 因为,在直线上 即和重合 故直线, 交于点 故四点共面 1. 四点共面 找两条相交直线或两条平行直线 5 设点分别为正方体的棱 的中点.求证：共面. 连接 可得 中位线 可得为平行四边形 为中点 于是 进一步有 即直线确定一个平面 同理 即直线确定一个平面 因为过两条相交直线有且只有一个平面 又 且 因此与重合 同理 共面 6 若直线与平面相交于点，有，则三点的位置关系是________. 因为 所以和确定一个平面，记作平面 则∩ 直线 因为∩ 所以∈ 又因为∈ 𝑨𝑩 且 所以∈ 所以∈直线 即三点共线 由公理3可知在两个平面的交线上 2. 三点共线 (1)找两个平面的交线（公理一、公理二） (2)证明点是这两个平面的公共点（公理一） (3)即点在交线上(公理三) 7 如图，点分别是空间四边形的棱上的点，且与相交于点．求证:点三点共线 由图可知， 且 且 又 故有 进一步有 同理有 进一步有 因此 故点三点共线 2. 三点共线 (1)找两个平面的交线（公理一、公理二） (2)证明点是这两个平面的公共点（公理一） (3)即点在交线上(公理三) 8 已知在平面外，其三边所在的直线满足 如图所示.求证：三点共线. 2. 三点共线 (1)找两个平面的交线（公理一、公理二） (2)证明点是这两个平面的公共点（公理一） (3)即点在交线上(公理三) 由图可知， 有 又 故有 又因为有 因此 故点三点共线 9 已知在平面外，其三边所在的直线满足 如图所示.求证：三点共线. 因为 所以 又 所以 所以由公理3可知 点在平面与平面的交线上 同理可证也在平面与平面的交线上的交线上 所以三点共线 2. 三点共线 (1)找两个平面（公理一、公理二） (2)证明三个点都在这两个平面内（公理一） (3)即三点共线(公理三) 10 已知四面体中，分别是的中点， 分别是上的点，且。求证：直线相交于同一点. 3. 三线共点 (1)先找两线交于一点 (2)转化为此点在第三条线上（公理一） (3)即三点共线(公理三)得三线共点 因为分别为的中点 所以且 又因为 所以 所以 所以四边形是梯形 其两腰所在直线必相交 设两腰的延长线相交于一点 连接 因为 且 所以 又因为平面 所以 故直线相交于同一点 10 11 正方体中，点，分别是棱长和的中点，求证： （1），，，四点共面；（2），，三线共点 3. 三线共点 (1)先找两线交于一点 (2)转化为此点在第三条线上（公理一） (3)即三点共线(公理三)得三线共点 延长和交于点 由图可知， 且 又 故有 进一步有 且 同理有 进一步有 可得 即，，三线共点 由于 所以四边形是梯形 $