5.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

5.4　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质 核心知识目标 核心素养目标 1.会用“五点法”画出y=Asin(ωx+)的图象. 2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤. 3.能根据y=Asin(ωx+)的部分图象确定其解析式. 4.整体把握函数y=Asin(ωx+)的图象与性质,并能解决有关问题. 1.通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养. 2.通过函数图象能抽象出数学模型,并能研究函数的性质,逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养. 1.参数A,ω,对函数y=Asin(ωx+)图象的影响 (1)A(A>0)对y=Asin x图象的影响 一般地,对任意A>0且A≠1,函数y=Asin x的图象可以由y=sin x的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘A得到,y=Asin x的周期仍是2π,值域为[-A,A],最大值和最小值分别为A 和-A. (2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+)图象的影响 一般地,对任意ω>0且ω≠1,函数y=sin ωx的图象可由y=sin x的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的而得到,y=sin ωx的值域为[-1,1],周期为. (3)对y=sin(x+),x∈R图象的影响 一般地,y=sin(x+)(x∈R,常数≠0)的图象可以由y=sin x的图象向左(当>0)或向右(当 <0)平移||个单位长度得到. 2.由函数y=sin x的图象变换得到函数y=Asin(ωx+)的图象 一般地,设A>0,ω>0,是常数,函数y=Asin(ωx+)的图象可经过以下步骤得到: 将正弦曲线y=sin x向左(当>0)或向右(当<0)平移||个单位长度; 再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的(纵坐标不变); 进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A>1)或缩小(0<A<1)为原来的A倍(横坐标不变). 函数y=Asin(ωx+)的值域为[-A,A],周期为. 3.简谐振动 简谐振动y=Asin(ωx+)中,若x表示时间(x∈[0,+∞)),则其周期T=,f==表示单位时间内往复振动的次数,称为频率,ωx+称为相位,称为初相. 1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点(　A　) A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度 解析:因为由y=sin x到y=sin(x+1),只是横坐标由x变为x+1, 所以要得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.故选A. 2.用“五点法”作函数f(x)=sin(2x-)在x∈[0,π]上的图象时,下列所给点可以是“五点法”中的点的坐标的是(　B　) A.(0,-) B.(,1) C.(,1) D.(π,-) 解析:因为f()=sin(2×-)=sin(-)=sin =1, 所以(,1)是“五点”中的一个最大值点. 而f()=0.故当x=时,y=0,即点(,0)满足,而非(,1).A,D错误.故选B. 3.函数y=Asin(ωx+)+k的部分图象如图所示,则它的振幅A与最小正周期T分别是(　D　) A.A=3,T= B.A=3,T= C.A=,T= D.A=,T= 解析:由题图可知A=×(3-0)=, 设周期为T,则T=×(-)=, 得T=. 故选D. 4.将函数y=sin(x+)的图象向左平移个最小正周期后,所得图象对应的函数为(　B　) A.y=sin(x-) B.y=cos(x+) C.y=-cos(x+) D.y=sin(x+) 解析:将函数y=sin(x+)的图象向左平移个最小正周期后, 所得图象对应的函数解析式为y=sin[(x+×)+]=sin(x++)=cos(x+).故选B. 　三角函数图象的变换 探究角度1　三角函数图象的平移变换 [例1] 要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin(2x-)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:由于y=sin(2x-)=sin[2(x-)]以及y=sin(2x-)=sin[2(x-)],结合x-=(x-)-,故只需将函数y=sin(2x-)的图象沿着x轴向右平移个单位长度就可得到函数y=sin(2x-)的图象.故选D. [即时训练1-1] (1)要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单