4.3 对数函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.3　对数函数 4.3.1　对数的概念 核心知识目标 核心素养目标 1.理解对数的概念和基本性质,知道自然对数和常用对数. 2.通过阅读材料,了解对数的发展历史以及对简化运算的作用. 通过对数的概念和基本性质的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 1.对数的概念 如果ab=N(a>0,且a≠1),那么b叫作以a为底,(正)数N的对数,记作b=logaN. 这里,a叫作对数的底数,N叫作对数的真数. 2.对数的基本恒等式 (1)=N(N>0,a>0,且a≠1); (2)b=logaab(b∈R,a>0,且a≠1). 3.对数的性质 (1)底的对数为1,即logaa=logaa1=1. (2)1的对数为0,即loga1=logaa0=0. 1.下列说法正确的是(　D　) A.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4 B.对数式log32与log23的意义一样 C.因为1a=1,所以log11=a D.log39=2 解析:因为对数的底数a应满足a>0,且a≠1,所以A错; log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以B错; 因为对数的底数a应满足a>0,且a≠1,所以C错; log39=log332=2,故D正确.故选D. 2.若2a=b,则下列说法正确的是(　B　) A.a=logb2 B.a=log2b C.2=logab D.2=logba 解析:将指数式2a=b化为对数式,得a=log2b.故选B. 3.若logx8=3,则x=　　　　.  解析:由指数式与对数式互化知x3=8,所以x=2. 答案:2 4.+log21+log55=　　　　.  解析:因为=2,log21=0,log55=1, 所以原式=2+1=3. 答案:3 (对应学生用书第88～90页) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　对数的概念 探究角度1　对数式与指数式的互化 [例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式. (1)lox=3;(2)logx64=-6; (3)3-2=;(4)x=16. 解:(1)因为lox=3,所以()3=x. (2)因为logx64=-6,所以x-6=64. (3)因为3-2=,所以log3=-2. (4)因为x=16,所以lo16=x. [即时训练11] 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值. (1)log2x=-;(2)logx25=2; (3)log5x2=2;(4)=4. 解:(1)由log2x=-,得=x,所以x=. (2)由logx25=2,得x2=25. 因为x>0,且x≠1,所以x=5. (3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5. 因为52=25>0,(-5)2=25>0, 所以x=5或x=-5. (4)由=4=22,得log3x=2,所以x=32,即x=9. (1)利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系,其中两式中的底数是相同的. (2)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1,且N>0时,才有ax=N⇔x=logaN. (3)求对数式中x的值,可将对数式化成指数式建立x的方程求解. 探究角度2　对数的底数、真数概念的理解 [例2] 求下列各式中x的取值范围. (1)log(2x+1)(x+2);(2). 解:(1)由题意得即 解得x>-,且x≠0. 所以x的取值范围是xx>-,且x≠0. (2)根据题意得即 解得x>0,且x≠1. 所以x的取值范围是{x|x>0,且x≠1}. [即时训练21] 求下列各式中x的取值范围. (1)log2(x+2)2;(2)log(1-2x)(3x+2). 解:(1)由(x+2)2>0得x≠-2,故x的取值范围是{x|x∈R,且x≠-2}. (2)由 解得-<x<,且x≠0, 所以x的取值范围是x-<x<,且x≠0. 对数式中要求真数大于0,底数不但要大于0,而且不能等于1.由此,可建立关于x的不等式组,解不等式组可求出x的取值范围. 　对数的性质 [例3] 求下列各式中的x的值. (1)log8[log7(log2x)]=0; (2)log2[log3(log2x)]=1. 解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1, 即log2x=7,所以x=27. (2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29. [即时训练31] 求下列各式中x的值. (1)log3(log3x)=1; (2)log2(log3x)=0. 解:(1)由log3(log3x)=1得log3x=3, 所以x=33=27.