4.1 实数指数幂和幂函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.1　有理数指数幂 4.1.2　无理数指数幂 核心知识目标 核心素养目标 1.理解n次方根及根式的概念.能正确运用根式的性质进行运算. 2.理解分数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化. 3.掌握实数指数幂的运算法则及应用. 1.通过根式的概念与性质的学习与运用,达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 2.通过分数指数幂意义的学习,形成数学抽象和数学运算的核心素养. 3.实数指数幂运算法则的理解与应用,发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 1.有理数指数幂 (1)根式 若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,就说x是a的n次方根. 当n是奇数时,数a的n次方根记作. 当a>0时,>0;当a=0时,=0;当a<0时,<0. 当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互为相反数.其中正的n次方根叫作算术根,记作. 当a>0时,如xn=a,则x=±. 再规定:=0,负数没有偶次方根. 式子叫作根式(n∈N,n≥2),n叫作根指数,a叫作被开方数. 根式的性质: ①()n=a. ②当n为奇数时,=a; 当n为偶数时,=|a|. (2)分数指数幂 ①当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定=,=. ②如果再规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂,那么,在a>0时,对于任意有理数r,s仍有下列运算法则: ar·as=ar+s,(ar)s=ars, (ab)r=arbr(b>0). 2.无理数指数幂 (1)有理数指数幂的基本不等式: 对任意的正有理数r和正数a, 若a>1,则ar>1;若a<1,则ar<1. 根据负指数的意义和倒数的性质可得推论: 对任意的负有理数r和正数a, 若a>1则ar<1;若a<1则ar>1. 由此可知: 对任意的正数a>1和两有理数r>s, 有=ar-s>1,即ar>as, 对任意的正数a<1和两有理数r>s, 有=ar-s<1,即ar<as. (2)无理数指数幂的概念 用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂.于是,给定任意正数a,对任意实数u,a的u次都有意义,au中,a叫作底数,u叫作指数. 幂运算基本不等式: 对任意的正数u和正数a,若a>1则au>1;若a<1则au<1. 对任意的负数u和正数a,若a>1则au<1;若a<1则au>1. 1.化为根式为(　C　) A. B. C. D. 解析:由分数指数幂的定义可得== .故选C. 2.已知m10=2,则m等于(　D　) A. B.- C. D.± 解析:因为m10=2,所以m是2的10次方根.又因为10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数,所以m=±.故选D. 3.()的值是　　　　.  解析:()=[()4]=()-1=. 答案: 4.化简-的结果为　　　　.  解析:原式=|1-|-=-1-=-1-=-1. 答案:-1 　根式 探究角度1　根式的性质 [例1] 化简下列各式. (1);(2);(3). 解:(1)=-7. (2)=|-9|=9. (3)=|a-b|= [即时训练1-1] 化简下列各式. (1)+; (2)++. 解:(1)因为=|3-π|=π-3, =-π-3. 所以原式=π-3-π-3=-6. (2)原式=|-5|++=5+2-3=4. (1)()n与的理解:()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:当n为大于1的奇数时,()n=a(a∈R);当n为大于1的偶数时,()n=a(a≥0).而是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,因此a∈R,但是该式子的值受n的奇偶性限制,= (2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当的变形,达到化繁为简的目的. 探究角度2　条件根式的化简 [例2] 若-4<x<4,求+的值. 解:原式=+=|x-2|+|x+4|. 因为-4<x<4,所以当-4<x<2时, 原式=-(x-2)+(x+4)=6. 当2≤x<4时, 原式=(x-2)+(x+4)=2x+2. 所以原式= [即时训练2-1] 化简+(a<b<0,n>1,且n∈N+). 解:当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a. 当n是偶数时, 因为a<b<0, 所以a-b<0,a+b<0. 所以原式=-(a-b)-(a+b)=-2a. 所以+= 在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值号表示,然后利用已知条件去绝对值号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论. 　根式与分数指数幂 探究角度1　根式与指数幂的互化 [例3] 用分数指数幂的形式表示下列各式.