3.2 函数的基本性质-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

3.2　函数的基本性质 3.2.1　函数的单调性与最值 核心知识目标 核心素养目标 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性. 2.利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义. 3.会根据函数的单调性定义,判断、证明单调性. 4.理解函数的最大(最小)值及几何意义. 5.利用单调性求最值、比较大小、解不等式. 1.结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程,体会用符号形式表达单调性定义的必要性,培养数学抽象和直观想象的核心素养. 2.通过图象经历函数最值的抽象过程,发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.利用单调性求最值、比较大小、解不等式,强化逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.函数的最大(小)值 以下设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空的子集.如不加说明,我们认为I是个区间. 如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点. 如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b),称m为f(x)的最小值,b为f(x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值. 2.函数的单调性 如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就称f(x)是区间I上的增函数,也称f(x)在区间I上单调递增,如图(1). 如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就称f(x)是区间I上的减函数,也称f(x)在区间I上单调递减,如图(2). 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间. 1.下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是(　D　) A.f(x)=- B.f(x)=x C.f(x)=-x2 D.f(x)=1-x 解析:由函数的图象知f(x)=1-x在(-∞,0)上单调递减.故选D. 2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(　D　) A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,+∞) D.[-1,3] 解析:因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0, 3],所以当x=1时,函数y取得最小值为-1, 当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1, 3].故选D. 3.已知函数f(x)=在区间[1,2]上的最大值为A,最小值为B,则A-B=　　　　.  解析:因为f(x)=在[1,2]上单调递减, 所以A=f(1)=1,B=f(2)=, 则A-B=. 答案: 4.已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根据图象写出y=f(x)的单调区间,增区间为　　　　　　　　　,减区间为　　　　.  解析:由图象可知,f(x)在[-2,6]上的递增区间为[-2,-1]和[2,6],减区间为[-1,2]. 答案:[-2,-1]和[2,6]　[-1,2] 　函数最值 [例1] 作出函数f(x)=|x-2|(x+1)的图象,并判断其是否存在最大值和最小值. 解:当x≥2,即x-2≥0时, f(x)=(x-2)(x+1) =x2-x-2 =(x-)2-; 当x<2,即x-2<0时, f(x)=-(x-2)(x+1) =-x2+x+2 =-(x-)2+. 所以f(x)= 画出该分段函数的图象,如图. 由图象可知,函数f(x)不存在最大值,也不存在最小值. [变式训练1-1] 若本例函数f(x)在(a,2]上既有最小值又有最大值,则a的取值范围是　 .  解析:结合图象及所给区间(a,2]可知,函数f(x)不可能在a处取最值,可以在x=2处取最值,因此要使函数f(x)既有最大值又有最小值,需-1≤a<,即a∈[-1,). 答案:[-1,) [变式训练1-2] 若将本例函数f(x)的定义域改为[-3,3],则函数f(x)是否存在最值. 解:由图象可知,当x∈[-3,]时,函数f(x)单调递增;当x∈[,2]时,函数f(x)单调递减;当x∈[2,3]时,函数f(x)单调递增, 又f(3)=4,且f(-3)=-10, 则f(3)>f(),f(-3)<f(2)=0,故函数f(x)在x=-3处取最小值,在x=3处取最大值. 利用图象求函数最值的方法 (1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象. (2)根据图象找出最高点和最低点. (3)图象最高点的纵坐标是函数最大值,最低点纵坐标是函数最小值. 　函数单调性的证明(定义法判断函数单调性) [例2] 已知函数f(x)=的图象过点(1,2). (1)求f(-2),f()的值; (2)试判断函数在(-1,+∞)上的单调性,