2.2 从函数观点看一元二次方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

2.2　从函数观点看一元二次方程 核心知识目标 核心素养目标 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.借助二次函数的图象,了解一元二次方程与相应函数的联系. 借助二次函数图象,求解一元二次方程,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.二次函数的零点 一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程的关系如表 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两个相等实根 x1=x2=- 没有 实根 1.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则一次函数y=ax-b的图象不经过(　B　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为由题意得a>0,-<0, 所以b>0.故一次函数y=ax-b的图象不经过第二象限.故选B. 2.在二次函数y=ax2+bx+c中,若a与c异号,则其图象与x轴的交点个数为(　A　) A.2个 B.1个 C.0个 D.不能确定 3.函数y=ax2+bx+c的图象如图,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是(　A　) A.有两个同号的不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等实数根 D.无实数根 4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为　　　　.  解析:由图象可知,抛物线的对称轴为x=1,与x轴的交点是(3,0),根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),所以一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=-1,x2=3. 答案:x1=-1,x2=3 　一元二次方程的解法 [例1] 用适当方法解下列一元二次方程. (1)2(x-1)2-6=0; (2)x2+2x-399=0; (3)3x2+1=4x; (4)(x-3)2+2x(x-3)=0. 解:(1)直接开平方法: 2(x-1)2=6, (x-1)2=3, x-1=±, 所以x1=+1,x2=-+1. (2)配方法: x2+2x+1=400, (x+1)2=400, x+1=±20, x1=19,x2=-21. (3)求根公式法: 3x2-4x+1=0, 所以x=, 所以x1=1,x2=. (4)(x-3)(x-3+2x)=0, 3(x-3)(x-1)=0, 所以x1=1,x2=3. [即时训练11] 用适当方法解下列一元二次方程. (1)(x+2)2=9; (2)x2-4x+1=0; (3)x2-3x+1=0; (4)(2x+1)2=3(2x+1). 解:(1)x+2=±3, 得x1=1,x2=-5. (2)x2-4x+4=3, (x-2)2=3, x-2=±, 得x1=+2,x2=-+2. (3)x=,x1=,x2=. (4)(2x+1)2-3(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1-3)=0, 2(2x+1)(x-1)=0, 得x1=-,x2=1. 解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、求根公式法、分解因式法等. 　二次函数的图象 [例2] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.c<0 C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0 解析:a决定抛物线的开口方向,c决定抛物线与y轴的交点情况,抛物线的对称轴由a,b共同决定,b2-4ac决定抛物线与x轴的交点情况.由于抛物线开口方向向下,因此a<0;抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴上方,因此c>0;由于抛物线对称轴在y轴右侧,所以x=->0,又a<0,所以b>0;由于抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,a+b+c是x=1时的函数值,而图象上点(1,a+b+c)在x轴上方,所以a+b+c>0.故选D. [即时训练2-1] 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　) A.a>0,bc>0,Δ<0 B.a<0,bc>0,Δ<0 C.a>0,bc<0,Δ<0 D.a<0,bc<0,Δ>0 答案:D 二次函数y=ax2+bx+c中,a决定抛物线的开口方向,c决定抛物线与y轴的交点情况,抛物线的对称轴由a,b共同决定. 　二次函数图象与一元二次方程的关系 [例3] 画出函数y=x2-3x-4的图象,根据图象回答下列问题. (1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么? (2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-3x-4=0有什么关系? (3)x取什