4.5.3函数模型的应用 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A 版（2019）必修第一册

我们知道,函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画,面临一个实验问题,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢? 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 4.5.3 函数模型的应用 第四章 §4.5 函数的应用(二) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 问题1 你能写出几种函数模型? 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)= +b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 问题2 应用函数模型解决问题的基本过程是什么? 提示 (1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. (2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模——求解数学模型,得出数学模型. (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为制定一系列相关政策提供依据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型 , 其中 表示经过的时间, 表示 时的人口数, 表示人口的年平均增长率. 例3 人口增长模型 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (1)根据国家统计局网站公布的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万。根据这些数据,用马尔萨斯人口增长模型建立我国1950-1959年间的具体人口增长模型。 人口增长模型 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (2)利用(1)中的模型计算1951-1958年各年末的人口总数。查阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958年间各年末的实际人口总数,检验所得模型与实际人口数据是否相符。 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 根据我国1951-1958年各年末的人口总数画出散点图,并 画出函数 的图象 由图可得,所的模型与1950-1959年的实际人口数据基本吻合。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (3)以(1)中的模型作预测,大约在什么时候我国人口总数达到13亿? 事实上,我国1990年的人口数为11.43亿,直到2005年才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法? 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 事实上,我国1990年的人口数为11.43亿,直到2005年才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法? 思考 因为人口基数较大,人口增长过快, 与我国经济发展水平产生较大矛盾 所以我国从20世纪70年代逐步实施计划生育政策(年增长率变化) 不符合马尔萨斯人口增长模型的条件(年增长率不变) 自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2010年,考古学家对良渚古城水利系统中的一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的? 例4 元素衰变模型 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质,碳14的衰减非常有规律,其准确性可以称为自然界的“准确时钟”。死亡后的动植物停止了与外界的相互作用,体内原有的碳14按确定的规律衰减,半衰期为5730年。这也是考古中常用碳14来推断年代的原因。 那么,碳14的变化规律属于哪种常用的函数模型,如何利用已知数据建立具体的数学函数模型? 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按 确定的比率衰减(称为衰变率),属于指数衰减 大约每经过5730年衰减为原来的一半, 这个时间称为“半衰期” 转变观念 改革课堂 服务学生 成就