4.5.1函数的零点与方程的解 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A 版（2019）必修第一册

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法…… 这比西方要早三百多年。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,是具有世界先驱意义的首创。 今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 4.5.1方程的根和函数的零点 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 3 学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点. 像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否有类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况？ 例如，方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，,则二次函数f(x)=y=x2－12x+20的零点就是2和10 x y o 2 10 在图像上显示为 函数图象与x轴有交点横坐标 就是方程 f(x)=0的实数根。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 注意： 零点是点吗? 问题1 如何求函数的零点？ 函数y=f(x)的零点， 就是方程f(x)=0的实数根 也就是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标 (2) 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 即 (1) 零点是一个实数，不是点； 与二次函数的零点一样， 1、函数零点的概念 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例1 √ √ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 反思感悟 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 求下列函数的零点： 跟踪训练1 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. (2)f(x)＝(lg x)2－lg x. 函数f(x)的零点是1,10. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 探究 对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象,发现它在区间[2, 4]上有零点。 这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2, 0]上是否也有这种关系? 你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系? 2 1 -1 -2 1 2 0 y x 3 -1 4 -2 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x =4 的取值异号，即 f(2) f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3在区间(2, 4)内有零点x =3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 同样地，f(-2) f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2, 0)内有零点x= -1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。 观察函数的图象①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a) f(b)_____0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b) f(c) _____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c) f(d) _____ 0（＜或＞） b a c 0 y x d 有 ＜ 有 ＜ 有 ＜ 2 1 -1 -2 1 2 0 y x 3 -1 4 -2 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？ 0 y x 思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？ 0 y x “在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可 2：零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a