4.2.3平面向量的数乘运算教案-2022-2023学年高二上学期北师大版（2021）中职数学拓展模块

第四单元4.2.3《平面向量的数乘运算》教案 授课题目 4.2.3平面向量的数乘运算 授课课时 2 课 型 讲授 教学 目标 1. 知识与技能： （1）理解并掌握实数与向量乘积的定义、几何意义和运算法则. （2）熟练运用定义、运算律进行向量加、减法的代数运算和几何运算. 2.过程与方法： （1）通过向量加法的几何运算，理解向量的数乘运算，使学生能理解向量数乘运算的内涵. （2）通过具体实例引入数乘概念，从具体到抽象，层层深入的方法，一步一步地引导学生，要求学生能理解并掌握向量的数乘和加减法的混合运算，结合前面所学的知识说明其几何意义. 3.情感、态度与价值观： 通过数形结合，由浅入深地学习，让学生加强对向量混合运算的接受和领悟，对自己的学习更加自信，进而减少学习的畏难情绪，培养学生学习数学的积极性． 教学 重难点 教学重点： 1.理解实数与向量乘积的几何意义. 2.熟练地进行向量加、减法、数乘等代数运算和几何运算. 教学难点： 1.向量加法、减法、数乘等代数运算. 2.两个非零向量共线的条件的理解和运用. 第1课时 教学过程 教学活动 学生 活动 设计 思路 1、 创设情境 激发兴趣 问题：青藏铁路是世界上海拔最高、 线路最长、气候条件最恶劣的高原铁路.大家有没有发现：这趟列车有两个火车头，这是为什么呢? 分析：两台火车机车挂接在一起担任列车牵引任务叫作机车双机重联，这种运行模式可以实现一台机车两车动力，可以提高速度，加大运量.由于青藏铁路部分段落坡度较陡,机车一般采用双机重联.上图采用双机重联的 “雪域神舟”号就是我国自行研制的高原机车.假设每一台机车的牵引力均为，双机重联后能产生两车动力，即,如图 4-25所示. 二、自主探究 讲授新知 上例中，根据向量的加法法则，三台机车重联，牵引力；如果机车倒车，牵引力相反，. 如果台机车重联，则牵引力为. 1. 实数与向量的乘法： 一般地，实数与向量 𝒂 的乘积仍是一个向量，记作𝒂 .它的模与方向规定如下： (1) ； (2) (3)，方向任意. (4) ，方向任意. 定义：求实数与向量乘积的运算叫做向量的数乘运算. 2.向量的数乘运算满足以下的运算法则： 设，对任意向量𝒂，𝒃，则 (+)𝒂=𝒂+𝒂； 3.向量的线性运算 如图4-26，已知向量𝒂，可以作出 2𝒂，-2𝒂，𝒂. 数乘向量𝒂的几何意义是把向量𝒂 沿着相同或相反的方向，伸长(或缩短)到原来的倍（或），这些向量均为共线向量. 向量的加法、减法、数乘运算都叫作向量的线性运算. 一般地，叫作𝒂，𝒃 的一个线性组合(其中 均为实数). 若向量=叫, 则称可以用𝒂，𝒃 线性表示. 4. 两个非零向量共线的条件： 根据实数与向量的乘积的概念，有如下定理：向量 （𝒂≠0）与 共线，当且仅当存在唯一一个实数，使. 了解 观看 课件 思考 分析 讨论 回答 理解 领会 理解 记忆 思考 归纳 联想 理解 观察 求解 领会 掌握 理解 记忆 通过 引入 双车 重联 两车 动力 情境， 激发 学生 兴趣 带领 学生 分析 引导 启发 学生 得出 结果 引导 启发 学生 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 加深 记忆 帮助 学生 更好 理解 掌握 反复 强调 引导 学生 思考 理解 知识 第2课时 教学过程 教学活动 学生 活动 设计 思路 三、典型例题 巩固知识 例 1 计算. (1)3(𝒂-2𝒃)-2(2𝒂+𝒃) ； (2)3𝒂-2(3𝒂-4𝒃)+3(𝒂-𝒃). 解：类比多项式计算中的合并同类项，可得 (1)3(𝒂-2𝒃)-2(2𝒂+𝒃)= 3𝒂-6𝒃-4𝒂-2𝒃= -𝒂-8𝒃 ； (2)3𝒂-2(3𝒂-4𝒃)+3(𝒂-𝒃)=3𝒂-6𝒂+8𝒃+3𝒂-3𝒃=5𝒃 例2 在▱ABCD中，为两对角线的交点.如图 4-27， = 𝒂，= 𝒃，试用表示𝒂，𝒃 向量，. 解：因为=𝒂+𝒃，= 𝒃+（-𝒂）=𝒃- 𝒂，而为，的中点，所以，=（𝒂+𝒃）=𝒂+𝒃， =（𝒃 -𝒂）=-𝒂+𝒃. 例3 若 𝒃=2𝒂（𝒂≠0），=𝒃-3𝒂 ，求证：∥ 𝒂 . 证明：因为 𝒃=2𝒂，所以 =𝒃-3𝒂=(2𝒂) -3𝒂= 𝒂-3𝒂=-2𝒂 . 因此∥ 𝒂 . 注意： (1) 向量的加、减与数乘运算的结果一定是向量，而不是一个数. (2) 向量的线性运算在形式上与实数的有关运算规律类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的线性运算中，但要注意向量的线性运算与实数