专题16 三角函数的性质-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题16 三角函数的性质 【考点预测】 1、正弦函数、余弦函数的图象 （1）正弦函数的图象． ①画点 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． ②画（）的图象 把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象． ③（）的图象 由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线． ④五点作图法 在函数，的图象上，有以下五个关键点： ，，，，． 画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”． （2）余弦函数的图象 因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象． 余弦函数，的图象叫做余弦曲线． 余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，． 2、正弦函数、余弦函数的性质 （1）周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． （2）奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． （3）单调性 正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． 余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 3、正切函数的图象 正切函数的图象叫做正切曲线． 4、正切函数的性质 （1）定义域 正切函数的定义域为 （2）周期性 正切函数是周期函数，最小正周期是． （3）奇偶性 正切函数是奇函数． （4）单调性 正切函数在每一个开区间（）上都单调递增． （5）值域 正切函数的值域是实数集． 【典型例题】 例1．（2022·江西省万载中学高一期中）已知函数，， (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合； (3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围. 【解析】（1），解不等式得： ， 所以函数的单调递减区间为. （2），即时，  ， ，即 时，； （3）时，，， 时， ， ， 要使得，只需， . 例2．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，. (1)求的最小正周期； (2) 有零点，求的范围. 【解析】（1）由于，故其最小正周期为； （2）因为 有零点， 故有解， 即有解， 因为，所以， 故. 例3．（2022·北京·高一期末）已知函数. (1)请用五点法做出一个周期内的图像； (2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由. 【解析】（1）列表 0 0 1 0 0 （2）的取值范围是. 例4．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 0 0 (1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间. (2)求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）根据五点法的表格，所以 所以的最小正周期 令， 解之得 又，所以或 即在上的单调递减区间为， （2）由于 所以 所以 所以 当即时，函数的最小值为; 当即时，函数的最大值为. 例5．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中． ①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且． ②函数的一条对称轴为且； (1)求函数的解析式； (2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【解析】(1)由题意可知，函数的最小正周期为，∴． 选①，将函数向左平移个单位，所得函数为. 由于函数的图象关于轴对称，可得（），解得（）. ∵，所以，的可能取