专题15 三角函数的概念及诱导公式-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题15 三角函数的概念及诱导公式 【考点预测】 1、任意角 （1）角的概念 （2）正角、负角、零角 （3）象限角 （4）终边相同的角 2、弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 ． 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③． 3、三角函数的概念 （1）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ，（）． 设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为． 可以证明：；；． （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等． ， ， ， 其中． 4、同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 ． （2）商数关系 ． 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式． 5、诱导公式 （1） 公式二 ， ， ． （2）公式三 ， ， ． （3）公式四 ， ， ． 小结： （1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． （2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： （4） 公式五 ， ． （5）公式六 ， ． 小结： ，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． 【典型例题】 例1．（2022·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【解析】(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． (2)依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】(1)因为，且，则为第三象限角，故， 因此，. (2)原式. 例3．（2022·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长. 【解析】设、第一次相遇时所用的时间是秒， 则． （秒，即第一次相遇的时间为4秒； 设第一次相遇点为，第一次相遇时点已运动到终边在的位置， 则， ． 点的坐标为， 点走过的弧长为， 点走过的弧长为． 例4．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 【解析】（1）由知   原式= （2）     又          原式=== 例5．（2022·广西·桂林市临桂区五通中学高一期中） (1)化简：； (2)已知角的终边经过点，求，的值； 【解析】（1）. （2）因为角的终边经过点，所以， 所以，. 例6．（2022·江西省万载中学高一期中）（1）化简： （2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值. 【解析】（1）原式； （2）因为，所以函数的周期为6， ，，， ，，； 由于， 所以＋＋＋…＋. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解