专题19 函数零点的综合问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题19 函数零点的综合问题 【考点预测】 1、 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点. （2）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 2、用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的中点. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. 3、 函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 【典型例题】 例1．（2022·江苏宿迁·高一期中）我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝． (1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本） (2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意得， （2）当时，由二次函数性质得， 当时，由基本不等式得， 则，当且仅当即时等号成立， 综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元 例2．（2022·河南·高一期中）已知关于的方程有唯一实数解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，则， 令，则上式可化为， 令，则，故为偶函数， 关于的方程有唯一实数解， 即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0， 故． 故选：C 例3．（2022·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，函数 ，若方程恰有2个实数解，则可能的值为是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 由，解得 ， 由，解得或， 当 时，方程仅有一个实数解， 当时，方程恰有两个实数解，， 当时，方程有三个实数解，，， 当时，方程恰有两个实数解，， 方程恰有2个实数解，则的范围是 . 故选：D. 例4．（2022·辽宁·凤城市第一中学高一期中）已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数a的取值范围是______. 【答案】. 【解析】函数的图像如下图所示      令，原方程化为：，令， 观察图象知，直线与的图象最多有4个公共点，即关于的方程最多4个根， 而关于的方程有个不相等的实数根，则关于的方程有4个根，， 并且关于t的方程在上有两个不等实根， 于是得：，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 例5．（2022·河南·濮阳一高高一期中）已知函数若互不相等的实数满足，则的取值范围______. 【答案】 【解析】函数的图象如图所示： 设，因为， 因为偶函数关于轴对称，所以， 当时，，时，， 所以，即. 故答案为： 例6．（2022·辽宁·育明高中高一期中）已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】，函数的零点为，不满足题意； 当时，若二次函数只有一个零点，则，解得，此时的零点为，不满足题意； 若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间中，则，解得 检验：当时，，即两个零点异号 因此当，时，函数有且只有一个零点在区间中 当若二次函数有两个零点，两个零点在区间中时 ，无解，故不存在两个零点在区间中； 故答案为： 例7．（2022·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数是定义在上的单调函数，且对，都有.若，则___________；若关于的方程有两不等实根，则的取值范围是___________. 【答案】     ；     . 【解析】根据题意，为常数，不妨令其为，