专题07 几种常见函数及其应用（知识点大串讲）-【中职专用】高一上学期数学期末复习大串讲（高教版2021·基础模块上册）

专题07 几种常见函数及其应用 知识结构 要点梳理 知识点一 一次函数 y＝kx＋b (k≠0)是一次函数，其图象为直线. 1.定义域为R. 2.值域为R. 3.当k>0时，在R上是增函数；当k<0时，在R上是减函数. 知识点二 反比例函数 1.定义域为. 2.值域为. 3.当k>0时，在上是减函数；当k<0时，在上是增函数. 知识点三 二次函数 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 __[，＋∞)__ __(－∞，]__ 单调性 在__(－∞，－)__上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增 在__(－∞，－)__上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减 顶点坐标 __(－，)__ 奇偶性 当__b＝0__时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 知识点四 函数的应用 一次函数、分段函数、二次函数模型.  题型探究： 题型一 常见函数的性质 例1．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝__13__． [解析]　由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13． 例2．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是__(－∞，0)__． [解析]　函数f(x)是反比例函数，若k＞0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k＜0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以有k＜0． 例3．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　D　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，3)上递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是[0，] [解析]　当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，3)上递减错误，B错误；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤，所以a的取值范围是[0，]，D正确． 【变式探究】1．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__0__． [解析]　f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0． 2．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合为__{－3}__． 【详解】　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3．故实数a的取值集合是{－3}． 题型二 函数的应用 例1. 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？ [解析]　设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250≤x≤400，设每月所获得的利润为y元，根据题意得： y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250，400]． 因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，ymax＝120＋1 050＝1 170(元)． 故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元． 例2.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(　B　) A．30元　　　　　　　 B．45元 C．54元 D．越高越好 [解析]　设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60， 将上式配方得y＝－2(x－45)2＋450， 所以当x＝45时，日销售利润最大． 例3.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y