专题08 任意角和弧度制（知识点大串讲）-【中职专用】高一上学期数学期末复习大串讲（高教版2021·基础模块上册）

专题08 任意角和弧度制 知识结构 要点梳理 知识点一 任意角 1．角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形． 2．角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 3．角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 知识点二 象限角、终边相同的角 1. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合　S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点三 弧度制 1．弧度制： ①定义：以弧度为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 2．弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 3．弧度与角度的换算公式 (1)弧度与角度的换算公式如下： 若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 　 　 　 　 　 　 π 　 2π 4．弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 |α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式． 题型探究： 题型一 任意角的概念 例1．下列说法，正确的是(　B　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 [解析]对A,90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正确；对C中钝角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C错误；对D,0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误． 【变式探究】经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　B　) A．60°，720°　　　 B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° [解析]　顺时针旋转为负角，×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针、分针转过的角度分别为－60°，－720°. 题型二 终边相同的角 例1．与－457°角终边相同的角的集合是(　C　) A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} [解析]　－457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C． 【变式探究】给出下列命题： ①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确的命题有(　D　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [解析]　①－75°是第四象限角，正确．②225°是第三象限角，正确．③475°＝360°＋115°是第二象限角，正确．④－315°＝－360°＋45°，是第一象限角；故选D． 题型三 角度与弧度的换算及应用 例1．315°＝　 　弧度，π弧度＝ 度． [解析] π，105 例2. 下列转化结果错误的是(　 　) A．22°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° [解析]　对A,22°30′＝22.5°＝，正确；对B，－＝－×°＝－600°，正确；对C，－150°＝－150×＝－，错误；对D，＝×°＝15°，正确． 【变式探究】将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　D　) A．－－8π B．π－8π C．－10π D．π－10π [解析]　∵－1 485°＝－5×360°＋315°， 又2π rad＝360°，315°＝π rad. 故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π. 题型四 弧长公式