专题03 均值不等式及其应用-备战2022-2023学年高一数学上学期期末考试真题汇编（人教B版2019必修第一册）

专题03 均值不等式及其应用（原卷版） 热点题型归纳 · 题型一： 求和或者积的最值 · 题型二：含二次商式的最值 · 题型三： “1”的妙用 · 题型四：基本不等式恒成立的问题 · 题型五：对勾函数 · 题型一：求和或者积的最值 【典例精析】 已知函数()，当时，取得最小值，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】通过题意可得，然后由基本不等式即可求得答案 【详解】解：因为，所以， 所以, 当且仅当即时，取等号， 所以y的最小值为1， 所以，所以， 故选：C 【提分点拨】 使用均值不等式求最值，必须同时满足三个条件，一正、二定、三相等，即 1 x，y均为正数 2 积xy（或和x+y）为定值（有时通过“配凑、拆分找出定值”） 3 x和y必须能够相等，如果等号不能成立，那么应用函数的单调性求最值。 4 积定和最小，x+y≥(当且仅当x=y时等号成立) 5 核定积最大，(当且仅当x=y时等号成立) 【同类题型演练】 1．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）下列结论中正确的结论是（    ） A．时，最小值是2 B．的最小值为 C．正数，满足，则的最大值为 D．，，，则的最小值为2 2．（2022·湖北黄石·高一期末）下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值是 B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3 C．若，，，则的最小值是2 D．若实数x，y满足，则的最小值是 3．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知实数a､b满足，则的最大值为___________. 4．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期末）已知，则的最小值是________. 5．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）若，则的最小值为________． 6．（2022·青海玉树·高一期末）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）已知正数a，b满足，求的最大值． 7．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知集合． (1)设，求的取值范围； (2)对任意，证明：． 8．（2022·湖南常德·高一期末）已知二次函数（为实数） (1)若的解集为（1，2），求不等式的解集； (2)若对任意，时，恒成立，求的最小值； (3)若对任意，恒成立，求ab的最大值． 9．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元满足关系式（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 10．（2022·四川绵阳·高一期末）设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 11．（2022·江苏苏州·高二期末）已知正实数满足，则的最小值为___________；若不等式对满足条件的恒成立，则实数的取值范围是___________. · 题型二： 含二次商式的最值 【典例精析】 已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 【提分点拨】 1. 先把商式拆开两个分式的和，使得两个分式都是正数，且它们的积是定值； 2. 利用基本不等式求商式的最值 3. 若分母是二次，分子是一次，可以先求倒数的最值。 【同类题型演练】 1.（2022·河北张家口·高二期末）函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 3．（2022·甘肃武威·高二期末（文））函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·辽宁·育明高中高一期末）“”是“关于的不等式（）有解”的（     ） 5．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）下列结论中，正确的结论有． A．如果，那么取得最大值时的值为 B．如果，，，那么的最小值为6 C．函数的最小值为2 D．如果，，且，那么的最小值为2 7．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________． · 题型三： “1”的妙用 【典例精析