5.2.3复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数 1 基本初等函数的导数公式 导数运算法则： [f(x)+g(x)]′= f′(x)+g′(x) ; [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g′(x) ; [f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)； 特别的[Cf(x)]′=Cf′(x) . 思考? 如何求函数y＝ln(2x－1)的导数呢? 函数y=ln(2x-1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数. 下面，我们先分析这个函数的结构特点. 如果把y与u的关系记作y=f(u), u与x的关系记作u=g(x), 那么这个“复合”过程可表示为 . y=f(u)=f(g(x))=ln(2x-1). 一般地, 对于两个函数 y=f(u)和u=g(x), 如果通过中间变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作: y=f(g(x)). 又如，函数y＝sin2x由y＝sinu及u＝2x复合而成. 如何求复合函数的导数呢？我们先来研究y＝sin2x的导数. 如何求函数y＝sin2x的导数呢? 一个合理的猜想是，函数y＝sin2x的导数一定与函数y=sinu，u=2x的导数有关. 下面我们就来研究这种关系. 以y′x表示y对x求导 , y′u表示y对u求导 , 以u′x表示u对x求导. 一方面, y′x=(sin2x)′=(2sinxcosx)′ =2[(sinx)′∙cosx+sinx∙(cosx)′] =2[cosx∙cosx+sinx∙(−sinx)] =2(cos2x−sin2x) =2cos2x 另一方面，y′u＝(sinu)′＝cosu ，u′x＝(2x)′=2 , 可以发现 y′x＝2cos2x=cosu×2=y′u×u′x . 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u×u′x . 复合函数求导的步骤: 分解：选定中间变量，正确分解复合关系; 求导：步骤求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量 求导), 要特别注意中间变量对自变量求导, 即先求 yu'，再求ux'. 回代：计算yu'·ux'，并把中间变量转化为自变量的函数. 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） (1)函数y=(2x+1)2的导数是y′=4x+2. ( ) × 解: 根据题意得y′=2(2x+1)×2=8x+4 . (2)函数y=cos(2x2+x)的导数是y′=−(4x+1)sin(2x2+x).( ) √ (3)函数y=ln(2x+1)的导数是y′= .( ) × 解: y′=(2x+1)′= . 解: y′=−sin(2x2+x)×(2x2+x)′=−(4x+1)sin(2x2+x). 例6 求以下函数的导数 (1)y＝(3x+5)3; (2)y＝e－0.05x＋1 ; (3)y=ln(2x-1). (2)函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数. 解：(1)函数y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x+5的复合函数. 根据复合函数求导法则，有 y′x＝y′u×u′x =(u3)′×(3x+5)′ =3u2×3=9(3x+5)2. y′x＝y′u×u′x 根据复合函数求导法则，有 =(eu)′×(－0.05x＋1)′ =－0.05e－0.05x＋1. ＝－0.05eu 例6 求以下函数的导数 (1)y＝(3x+5)3; (2)y＝e－0.05x＋1 ; (3)y=ln(2x-1). 根据复合函数求导法则，有 y′x＝y′u×u′x =(lnu)′×(2x−1)′   它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s. 根据复合函数求导法则，有 y′t＝y′u×u′t 例8 已知曲线C1:y=ex+a和曲线C2:y=ln(x+b)+a2 (a, b∈R), 若存在斜率为1的直线与C1, C2同时相切, 则b的取值范围是( ) A. B.[0, +∞) C.(-∞, 1] D. 解:令f(x)=ex+a, g(x)=ln(x+b)+a2, 则f'(x)=ex, g'(x)= , 设斜率为1的切线在C1,