5.2.2导数的四则运算法则

5.2.2 导数的四则运算法则 1 基本初等函数的导数公式 在例2中，当p0=5时，p(t)=5×1.05t. 这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢? 探究！设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)−g(x)]′，它们与f′(x) 和g'(x)有什么关系? 再取几组函数试试，由此你能想到什么? 设y=f(x)+g(x)=x2+x, 因为 探究！设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]'与[f(x)−g(x)]'，它们f '(x)与g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，由此你能想到什么? 设y=f(x)+g(x)=x2+x, 因为 所以 [f(x)+g(x)]′= f'(x)+g'(x) . 而 f'(x)=(x2)'=2x, g'(x)=(x)'=1 同样地，对于上述函数，[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x) 一般地，对于两个函数和(或差)的导数，我们有如下法则： [f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x) 例3 求下列函数的导数： (1)y=x3-x+3 (2)y=2x+cosx 解：(1)y'=(x3-x+3)'=(x3)'-(x)'+(3)'=3x2-1 (2)y'=(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2-sinx 思考?设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x) g(x)]′与f′(x)g′(x), 它们是否相等? f (x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商? 通过计算可知 [f(x) g(x)]′=(x3)′=3x2, f′(x)g′(x)=2x ∙ 1=2x, 因此 [f(x) g(x)]′≠ f′(x)g′(x). 事实上，对于两个函数f (x)和g(x)的乘积(或商) 的导数，我们有如下的法则： [f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)； 事实上，对于两个函数f (x)和g(x)的乘积(或商) 的导数，我们有如下的法则： [f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)； 由两个函数f (x)和g(x)的乘积的导数法则： [Cf(x)]′=C′(x)f(x)+Cf′(x)= Cf′(x) ； 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 [Cf(x)]′=Cf′(x) . 解：(1)y'=(x3ex)' =(x3)′ex+x3(ex)' =3x2ex+x3ex 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算可知, c′(98)=25c′(90). 它表示进化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率 , 大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍 . 这说明水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快. 例6 若函数 f(x)=ln x+2x2+ax的图像上存在与直线x-y=0平行的切线, 则实数a的取值范围是(　) A.[-3,+∞) B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,-3] 解:函数f(x)=ln x+2x2+ax的图像上存在与直线x-y=0平行的切线, 则f'(x)=1在(0,+∞)上有解, 又f'(x)= +4x+a, ∴+4x+a=1在(0,+∞)上有解, 即a=1-4x-在(0,+∞)上有解 . ∵-4x-=-(4x+ )≤-2=-4, 当且仅当x= 时等号成立, ∴a≤1-4=-3, ∴a的取值范围是(-∞,-3]. 故选D. 归纳小结 导数运算法则： [f(x)+g(x)]′= f′(x)+g′(x) ; [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g′(x) ; [f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；   特别的[Cf(x)]′=Cf′(x) . 练习1 (1)下列求导运算正确的是(　)　　　　　　　　　　　　　　 A.(x+)′=1+ B.(log2x)′= C.[ln(3x)]= D.(x2cos x)′= -2xsin x 解: (x+)′=1− , 故A不正确; (log2x