5.2.1基本初等函数的导数

5.2.1 基本初等函数的导数 5.2 导数的运算 由导数的定义可知, 一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 1.导数的几何意义 2.导函数的概念 一、复习回顾 1. 函数y=f(x)=c的导数. 若y=c(图5.2-1)表示路程关于时间的函数，则 y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 2. 函数y=f(x)=x的导数. 若y=x(图5.2-2)表示路程关于时间的函数，则 y′= 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 3.函数y=f(x)=x2的导数. 3.函数y=f(x)=x2的导数. y′=2x表示函数y=x2的图像(图5.2-3) 上的点(x, y)处切线的斜率为2x, 说明随x的变化，切线的斜率也在变化. 若y=x2可表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′=2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x2减少得越来越慢； 当x>0时, 随着x的增加, |y′|越来越大, y=x2减少增加得越来越快. 4.函数y=f(x)=x3的导数. y′=3x2表示函数y=x3的图像(图5.2-4) 上的点(x, y)处切线的斜率为3x2, 这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 5.函数y=f(x)= 的导数. 结合函数的图象及其导数y′= - 发现： 易得曲线y=在点（1，1）处的切线方程: 当x<0时，随着x的增加，函数y= 减少得越来越快； 当x>0时，随着x的增加，函数y= 减少得越来越慢. 6.函数y=f(x)=的导数. 前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用. 例1 (1)若函数f(x)=，则f′(1)=( @26@ ) A.0 B.− C. 2 D. D 解: 因为f′(x)=()′= ，所以f′(1)= .故选D. (2)已知 f(x)= ，若 f′(α)=− ，则α=_____. 解: f′(x)=− ，则f′(α)=− =−，解得α=±2. (3)求曲线y=x3在点O(0 , 0)处的切线的方程. 解:因为y=3x2，所以曲线在点O(0, 0)处的切线的斜率为0，则切线方程为y-0=0(x−0)，即y=0. ±2 基本初等函数的导数公式 (1)若y=ex，则 y′=ex. ( ) √ × (3)已知y=cos，则 y′=(cos)′=−sin =− .( ) × 解:因为y=cos是常函数，所以y′=0. (4)若y=log2x，则y′= . ( ) × 诊断分析 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） (2)(2x)′= 2x log2e. ( ) 解:(2x)′= 2x ln2. 解: y′= 例2 求下列函数的导数： 练习:给出下列结论： ①(cosx)′=sinx； ②(sin)′=cos； ③若y= ，则y′= −； ④ ()′= −. 其中正确的个数是( @38@ ) A.0 B.1 C.2 D.3 解: 对于①， (cosx)′=−sinx，故①错误；对于②， (sin)′=0，故②错误；对于③，y′= ，故③错误； 例3 假设某地在20年间的年均膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为：p(t)=p0 (1+5%)t，其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少?(精确到0.001元/年) 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 当p0=5时? 例4 已知抛物线y=x2和直线x