专题19 三角函数伸缩变换及其应用-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题19 三角函数伸缩变换及其应用 【考点预测】 考点一：用五点法作函数的图象 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 考点二：函数中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相． 考点三：由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【典型例题】 例1．（2022·全国·高一期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 -5 0 （1）根据表中数据，求函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）条件下，求在上的增区间. 【解析】（1）由表可知，①，②， 联立①②解得，， 0 0 5 0 -5 0 . （2）∵向左平行移动个单位后可得：， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）可得：， 令，，∴，， ∴当时，此时最小值为； （3）因为， 令，， 所以，， 又，∴或， ∴增区间为，. 例2．（2022·北京景山学校远洋分校高一期中）将函数向右平移个单位得到函数 （I）求的解析式； （II）用“五点法”做出函数在一个周期内的函数图像.                      【解析】（I）由题意； （II）列表： 0 1 0 0 描点连线： 例3．（2022·山东东营·高一期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为 (1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程; (2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围. 【解析】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，，所以， 由，可得，， 所以函数的单调递增区间为， 由得， 所以所求对称轴方程为 （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线， 把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象， 由得，所以，， 所以，，所以x的取值范围为 例4．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图． (1)求f（x）的表达式； (2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 【解析】（1）根据图象，可得，， ∴ ∴，将代入f（x），得， 即，， 又，∴， ∴． （2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C， 由题得， ∵在[0，]上有两个不同的实数解， ∴在[0，]上有两个不同的实数解． ∵， 令， ∴， 则需直线与的图象在有两个不同的公共点． 画出在时的简图如下： ∴实数m的取值范围是． 例5．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件具体写出关于的函数表达式； (2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 【解析】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m． 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·上海市向明中学高一期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（    ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变