6.4.3余弦定、正弦定理（第1课时）课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复习回顾： 前面我们学习了向量在平面几何以及物理中的应用； 本节我们将学习如何利用向量研究三角形的边角关系。 在初中，我们研究过直角三角形中的边、角的关系． 勾股定理 A B C a c b 三角函数 sinB= cosB= 对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了 SSS , SAS , ASA , AAS 等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法研究这个问题 相关标题文字 01 人教必修二 第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第一课时 3 1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理及其推论； 3.能利用余弦定理及其推论求解三角形的边、角等问题。 学习目标 如图，一架飞机从甲地飞往乙地，两地相距700km.飞行员为了避开雷雨云层，飞机起飞后，先沿与原方向成的方向飞行了 500km，再改变方向，沿直线飞行抵达终点.这次飞行路程比原来的700km远了多少呢? 想要解决这一实际问题可以将其转化为怎样的数学问题呢? 甲 乙 已知一个三角形两边及其夹角，第三边是唯一确定的吗？ B A C b c a ﹚ AD=bsinC D CD=bcosC, BD=a-bcosC = = 探究：△ABC在三角形 ABC 中，三个角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，怎样用 a，b 和 C 表示 c？ D AD=bcos(C)=bsinC CD=bcos(C)=-bcosC BD=a-bcosC = = 综上，我们得到：在中，有 想一想：由于向量具有数和形的属性，你能用向量的方法证明 上面的边角关系吗？ 从而 B A C b c a ﹚ 因为涉及三角形两边长和它们的夹角， 考虑用向量的数量积来探究 同理，得 则 = == 证明： 设=, =, =, 余弦定理 语言表述:三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2=b2+c2－2bccosA， b2=c2+a2－2accosB， c2=a2+b2－2abcosC。 符号表达 余弦定理的应用：已知三角形两边及其夹角，求第三边 你能用其他方法证明余弦定理吗？ cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝___________ 思考1：应用余弦定理，如果已知三角形的三边，你能够求出三角形的三个内角吗？ 余弦定理的推论 余弦定理推论的应用：已知三角形的三条边，求三个角 由此， 你能利用余弦定理，解决本节开头提出的问题了吗？ 实际上，余弦定理每个式子中都含有 四个元素： 即三条边和一个角。 利用方程思想，四个元素“知三求一” 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。 解三角形 思考2：利用余弦定理及其推论可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？ ① 已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ② 已知三角形的三条边求三个角。 a2=b2+c2－2bccosA， b2=c2+a2－2accosB， c2=a2+b2－2abcosC。 思考3：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？ 在 c2＝a2＋b2－2ab·cosC中，若C＝90°，公式会变成什么？ c2＝a2＋b2 即勾股定理. 勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广 思考4：当角C为直角时，有c2＝a2＋b2 ，当角C为锐角时，这三者 的关系是什么？钝角呢？ 由此，您能利用余弦定理判断三角形形状吗？ 例1.在 中，已知b=60cm，c=34cm， ，解这个三角形（角 度精准到 ，边长精确到1cm.） 解：由余弦定理，得 所以 由余弦定理的推论，得 所以 利用计算器，可得 题型一：已知两边及其夹角解三角形 例2.在 中，已知a=7，b=8，锐角C满足 ，求B。（ 精准到 ) 解：因为 ，且C为锐角。 所以 由余弦定理，得 所以c=3 进而 利用计算器可得 变式.在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）