11.4.1 直线与平面垂直（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

训练十九　直线与平面垂直 [对应素能提升训练第37页] 1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 （　　） A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直.又因为三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB. 答案　B 2.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是 （　　） A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α C.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α 解析　由直线与平面垂直的判定定理的推论知，选项D正确. 答案　D 3.直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是 （　　） A.a⊥β B.a∥β C.a⊂β D.a⊂β或a∥β 解析　若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b；若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c⊂β，则b⊥c，a∥c，于是b⊥a.故答案为D. 答案　D 4.（多选）下列命题正确的是 （　　） A.⇒b⊥α B.⇒a∥b C.⇒b∥α D.⇒b⊥α 解析　由线面垂直的判定定理可得A正确；由线面垂直的性质定理可得B正确；a⊥α，a⊥b，可能有b⊂α，C错误；a∥α，a⊥b时可能有b⊂α，b∥α，b与α相交（可能垂直），D错误，故选AB. 答案　AB 5.（多选）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有 （　　） A.AG⊥△EFH所在平面 B.AH⊥△EFH所在平面 C.EF⊥△AGH所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面 解析　如图所示，根据折叠前、后得到AH⊥HE，AH⊥HF不变，根据线面垂直的判定定理，可得AH⊥平面EFH，所以B正确；过A只有一条直线与平面△EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥GH，由线面垂直的判定定理，可得EF⊥平面AGH，所以C正确；因为HG与AG不垂直，所以HG与平面AEF不垂直，所以D不正确. 答案　BC 6.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为　　　　.  解析　 如图，连接BC1，AD1， ∵MN∥BC1∥AD1， ∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1. ∵△ACD1是等边三角形， ∴∠D1AC＝60°. 答案　60° 7.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是　　　　.  解析　∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，故直线AB与CD确定一个平面.∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF.又BD⊥EF，AB∩BD＝B，∴EF⊥平面ABDC.∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF. 答案　垂直 8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，M，N分别是BC，PC的中点.求证： （1）MN∥平面PAB； （2）BC⊥AN. 证明　（1）因为M，N分别是BC，PC的中点， 所以MN∥PB， 而MN⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， 所以MN∥平面PAB. （2）由PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，可得PA⊥BC， 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 则BC⊥平面PAC，而AN⊂平面PAC，所以BC⊥AN. 9.如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明　（1）∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. （2）由（1）知AN⊥平面PBM， ∵PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 10.（多选）（2022·深圳高一期中）已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列结论中，正确的为 （　　） A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α B.若m∥α，α∩β＝n，则n∥β C.若m⊥α，m⊥β，则α∥β D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β 解析　已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线.若m∥n，m⊥α，则有n⊥α.故选项A正确；若m∥α，α∩β＝n，则m和n平行或异面.故选项B错误；若m⊥α，m⊥β