5.3.1 第2课时 等比数列的性质（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　等比数列的性质 [学习任务] 1.掌握等比中项的概念并会应用. 2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算. [对应学生用书第20页] 知识点一　等比中项 1.如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项.即G2＝xy.由此可知，G＝±. [思考]　当G2＝xy时，G一定是x，y的等比中项吗？ [提示]　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列. 知识点二　等比数列的常用性质 1.一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq.特别地，如果2s＝p＋q，则＝apaq. 2.在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和（或积）（k＝2时q≠－1）构成公比为qk（或）的等比数列. 3.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}（λ≠0），，{}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. 4.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 1.在等比数列{an}中，a1＝1，a6＝32，则a3a4＝（　　） A.32 B.16 C.8 D.4 解析　因为在等比数列{an}中，a1＝1，a6＝32，所以a3a4＝a1a6＝32. 答案　A 2.（多选）如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中一定是等比数列的是 （　　） A. B.{} C.{anan＋1} D.{an＋an＋1} 解析　取等比数列an＝（－1）n，则数列an＋an＋1＝0不是等比数列，故D错误；对其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.故选ABC. 答案　ABC [对应学生用书第20页] 探究一　等比中项的应用 [例1]　（1）与的等比中项是 （　　） A.－1 B.1 C. D.± （2）已知数列－1，a1，a2，a3，－4成等差数列，数列－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为 （　　） A.－ B.－ C. D. [解析]　（1）∵＝＝， ∴与的等比中项是±. （2）由－1，a1，a2，a3，－4成等差数列得a2－a1＝d＝＝－.由－1，b1，b2，b3，－4成等比数列得＝－1×（－4）＝4. 又等比数列的所有奇数项同号，所以b2＝－2， 所以＝. [答案]　（1）D　（2）C 　　（1）由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. 　　（2）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 　　（3）a，G，b成等比数列等价于G2＝ab（ab＞0）. 1.已知－1，a，x，b，－9成等比数列，则实数x＝　　　　.  解析　设－1，a，x，b，－9为数列{an}的前五项，设公比为q，a1＝－1，a5＝a1·q4＝－9.解得q2＝3.所以a3＝a1·q2＝－3.所以x＝－3. 答案　－3 2.在等差数列{an}中，a4＝0，如果ak是a8与ak＋8的等比中项，那么k＝　　　　.  解析　设等差数列{an}的公差为d，显然d≠0， 由题意得a4＝a1＋3d＝0，∴a1＝－3d. 又∵ak是a8与ak＋8的等比中项，∴＝a8ak＋8， 即[a1＋（k－1）d]2＝（a1＋7d）·[a1＋（k＋7）d]， 即[（k－4）d]2＝4d·（k＋4）d. 解得k＝12或k＝0（舍去）. 答案　12 探究二　等比数列的性质及应用 [例2]　（1）在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝　　　　.  （2）已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值. [解析]　（1）因为＋＝，＋＝， 由等比数列的性质知a7a10＝a8a9， 所以＋＋＋＝ ＝÷＝－. （2）∵{an}为等比数列，∴a1a9＝a3a7＝64. 又∵a3＋a7＝20， ∴a3，a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根. ∵t1＝4，t2＝16，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， 此时a11＝a3q8＝4×42＝64； ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×＝1. [答案]　（1）－　（2）见解析 利用等比数列的性质解题的基本思路和优缺点 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，需要一定的思维能力. 3.在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝　　　　.  解析　方法一　设{an}的公比为q，则 解得q4＝6.∴a10＝a1q9＝a1q×（q4）2＝2×36＝72. 方法二　∵{an}是等比数列，∴