4.2 等差数列-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2　等差数列 知识点一　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 知识点二　等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b. 知识点三　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d (m，n∈N*). 知识点四　从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 知识点五　等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 知识点六　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知识点七　等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 知识点八　等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1．公式Sn＝na1＋ 可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n. 当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 【题型目录】 题型一、等差数列的通项公式及其应用 题型二、等差中项及应用 题型三、等差数列性质的应用 题型四、等差数列的判定与证明 题型五、等差数列前n项和的有关计算 题型六、等差数列前n项和的比值问题 题型七、等差数列前n项和的性质 题型八、等差数列前n项和的最值问题 题型一、等差数列的通项公式及其应用 1．已知等差数列中，，则公差d的值为（ ） A． B．1 C． D． 2．在数列中，，，若，则（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 3．（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d. （2）已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 题型二、等差中项及应用 4．已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________. 5．已知，并且，，成等差数列，则的最小值为_____. 题型三、等差数列性质的应用 6．在等差数列中，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．等差数列的前n项和为Sn，若a4，a10是方程的两根，则 （ ）                A．21 B．24 C．25 D．26 8．已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________. 题型四、等差数列的判定与证明 9．已知数列满足，（），令. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 10．已知等差数列前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求证：数列是等差数列. 11．数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N*.证明：数列是等差数列. 题型五、等差数列前n项和