4.1 数列的概念-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》 4.1　数列的概念 知识点一　数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二　数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ 【题型目录】 题型一、数列的有关概念和分类 题型二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式 题型三、数列通项公式的简单应用 题型四、由递推公式求数列的指定项 题型五、由递推公式求通项公式 题型六、利用Sn与an的关系求通项公式 题型一、数列的有关概念和分类 1．下列叙述正确的是( ) A．与是相同的数列 B．是常数列 C．数列的通项 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】根据数列的定义可排除；根据通项公式的定义可排除；根据数列各项的变化规律可知正确. 【详解】数列与各项顺序不同，不是相同的数列，故错误； 数列是摆动数列，故错误； 数列，通项，故错误； 单调递增，则数列是递增数列，故正确. 本题正确选项： 【点睛】本题考查数列的概念、通项、增减性的判定，属于基础题. 2．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（     ） A．… B．… C．… D． 【答案】C 【解析】根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于选项A：数列是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；故选项A不正确； 对于选项B：数列是无穷数列，但它不是递增数列；故选项B不正确； 对于选项C：数列是无穷数列，也是递增数列；故选项C正确； 对于选项D：数列是递增数列，但不是无穷数列，故选项D不正确； 故选：C 3．下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)，，，，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 【详解】(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列． 题型二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式 4．写出下面各数列的一个通项公式： （1）9，99，999，9 999，…； （2），2，，8，，…； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）各项加1后，求得新数列的通项公式为，即可求得原数列的通项公式； （2）将各项统一成分数再观察：，进而求得数列的通项公式. 【详解】（1）各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为， 可得原数列的一个通项公式为. （2）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：， 所以它的一个通项公式为. 5．写出下列数列的一个通项公式． (1)，，，，…； (2)1，0，，0，，0，，…； (3)0.8，0.88，0.888，…； (4)，，，，…． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】观察并总结各项数列的规律，直接写出对应的通项公式即可. 【详解】(1)所给数列可写成，，，，…， ∴原数列的一个通项公式为． (2)由题设数列的奇偶项的规律，易知一个通项公式为． (3)由原数列可写成，，，…， ∴原数列的一个通项公式