专项33 相似三角形-一线三等角模型综合应用-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

专项33 相似三角形-一线三等角模型综合应用 1. 如图，∽（一线三等角） 如图，∽（一线三直角） 如图，特别地，当是中点时：∽∽平分，平分。 2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。 【类型1：标准“K”型图】 【典例1】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． （1）求证：＝； （2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长． 【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长． 【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABM∽△MCF； （2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积． 【类型2：做辅助线构造“K”型图】 【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上． （1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝　 　； （2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN； （3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD． 【变式2-1】（2021春•永川区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为 　 　． 【变式2-2】（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处． （1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长； （2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离； （3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值． 【类型2：特殊“K”型图】 【典例3】（2021秋•通许县期中）感知： （1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝　 　．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用： （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）． 拓展： （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B．求证：AB•FE＝BE•DE． 【变式3-1】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 【变式3-2】（2022春•定海区校级月考）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA． 【尝试应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四边形ABCD的面积． 1．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（　　） A．4 B． C． D．5 2．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为 　 　． 3．（2022•杭州模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1）， （1）若点F恰为CD边的中点，则x＝　　． （2）设＝y，则y关于x的函数表达式是 　 　． 4．（2021•海州区校级二模）如图，△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，BC＝4，∠EDF＝90°，＝，则DF长度的最小值是 　 　． 5.如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△E