第05讲 函数的概念及其表示（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第5讲 函数的概念及其表示 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：函数定义的理解 必会题型二：求函数的定义域 必会题型三：求函数及参数值 必会题型四：待定系数法求解析式 必会题型五：配凑法及换元法求解析式 必会题型六：方程组法及其他方法求解析式 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．函数的定义：给定实数集‍‍中的两个非空数集‍‍和‍‍如果存在一个对应关系‍‍使对于集合‍‍中的每一个数‍在集合‍‍中都有唯一确定的数‍‍和它对应，那么就把对应关系‍‍称为定义在集合‍‍上的一个函数，‍记作‍‍其中集合‍‍称为函数的定义域，‍‍称为自变量，与‍‍值对应的‍‍值称为函数值，集合‍‍称为函数的值域． 2．函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式，如函数‍‍的定义域是‍‍值‍域是‍． (2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法(如图)． (3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法(如图)． 3．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．如‍是同个函数． 4．分段函数：指在不同的定义域上有不同的解析式的函数．它是一个函数，不要误认为是几个函数！分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集．常见分段函数如下： (1)取整函数：f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数) (2)绝对值函数：如f(x)＝|x|＝ ， f(x)＝|x＋2|＝ 5．由函数的解析式求函数的定义域时，通常要注意以下几个方面． (1)分式——使分母不为零．(2)偶次根式——使被开方数非负．(3)y＝(f(x))0→f(x)≠0． [名师点睛]求函数的定义域时，一般先转化为解不等式或不等式组，最后取各部分的交集，定义域要写成集合或区间的形式． 6．复合函数定义域，用对应的方法． (1)若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出； (2)若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域． (3)若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f[φ(x)]的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域即为φ(x)，再求出φ(x)对应的x范围，即为f[φ(x)]的定义域． 7．求函数的解析式一般方法 (1)代入法：已知f(x)的解析式求f [g(x)]的解析式常用此法； (2)待定系数法：若已知所求函数类型，可先设出所求函数的解析式，然后由已知条件列方程(组)，再求系数． (3)配凑法(整体换元法)：已知f [g(x)]的解析式求f(x)的解析式时，可从f [g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，即把“g(x)”作为整体来表示，再将两边的g(x)都用x代替即可，如已知函数f＝x2＋求f(x)的解析式，可变形为f＝2＋2可得f(x)＝x2＋2； (4)换元法：形如y＝f[g(x)]的函数，可令t＝g(x)，由此求出x＝φ(t)，然后代入解析式求解，但要注意新设变量“t”的范围； (5)方程组法：若已知式子含有f(x)，f，或f(x)，f(－x)等形式，可让x与互换，或－x与x互换等，从而构造出另一个方程，通过解方程组获解； 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：函数定义的理解 1．(2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)下列各式中，①；②；③；④．能表示为是的函数的有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习)下列各组函数是同一函数的是(    ) ①与；②与 ③与；④与 A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 3．(2022·江苏·西安交大苏州附中高一阶段练习)下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是(    ) A． B． C． D． 4．(2022·山东省青岛第十六中学高一期中)函数的定义域为，值域为，则图像可能是(    ) A． B． C． D． 必会题型二：求函数的定义域 1．(2022·湖南·高一期中)函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 2．(湘豫名校联考2022－2023学年高三上学期11月一轮复习