第12期 共点力作用下物体的平衡-【数理报】新教材2022-2023学年高一物理必修第一册同步学案（教科版2019）

书 结论：共点的两个力的合力，大小等于作用点到两 个力矢端连线中点的二倍．如图１甲所示，共点力 ＦＯＡ、 ＦＯＣ，Ｄ点是Ａ、Ｃ连线的中点，则共点力ＦＯＡ、ＦＯＣ合力大 小等于２ＦＯＤ． 证明：以ＯＡ、ＯＣ为邻边作平行四边形 ＯＡＢＣ，连接 对角线ＯＢ、ＡＣ，交点为Ｄ，如图１乙所示．根据平行四边 形的性质可知，Ｄ点平分 ＯＢ、ＡＣ．由力的平行四边形定 则知，共点力 ＦＯＡ、ＦＯＣ的合力为 ＦＯＢ，所以共点力 ＦＯＡ、 ＦＯＣ的合力也等于２ＦＯＤ． 应用： 例．如图２甲所示，Ｏ点为三角形ＡＢＣ的重心，Ｏ点 作用着三个共点力Ｆ１、Ｆ２、Ｆ２，试证明三力的合力为零． 证明：如图２乙所示，将ＡＯ延长，交ＢＣ于Ｄ，因Ｏ点 为三角形ＡＢＣ的重心，所以Ｄ点为ＢＣ的中点．根据结论 可知，Ｆ２、Ｆ３合力大小等于ＯＤ长度对应力的二倍．由三 角形重心的性质知道ＯＡ＝２ＯＤ，所以Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３三力的 合力为零． 书 １．“死接”和“活接”问题 例１．如图１所示，长为５ｍ的 细绳的两端分别系于竖立在地面 上相距为４ｍ的两杆的顶端 Ａ、Ｂ， 绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下 连着一个重为１２Ｎ的物体，平衡 时，问： （１）绳中的张力ＦＴ为多少？ （２）Ａ点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹 角，绳中张力如何变化？ 变形：如图２所示，ＡＯ、ＢＯ和 ＣＯ三根绳子能承受的最大拉力相 等，Ｏ为结点，ＯＢ与竖直方向夹角 为θ，悬挂物质量为ｍ．求： （１）ＡＯ、ＢＯ、ＣＯ三根绳子拉 力的大小； （２）Ａ点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何 变化？ 解析：原题中因为是在绳中挂一个轻质挂钩，所以 整个绳子处处张力相等．而在下题中，ＡＯ、ＢＯ、ＣＯ分别 为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的． 对于原题分析轻质挂钩的受力如 图３所示．由平衡条件可知，ＦＴ１、ＦＴ２合 力与 Ｇ等大反向，且 ＦＴ１ ＝ＦＴ２，所以 ＦＴ１ｓｉｎα＋ＦＴ２ｓｉｎα＝ＦＴ３ ＝Ｇ 即ＦＴ１ ＝ＦＴ２ ＝ Ｇ ２ｓｉｎα ，而ＡＯｃｏｓα ＋ＢＯｃｏｓα＝ＣＤ，ＡＯ＋ＢＯ＝５ｍ 所以 ｃｏｓα＝０８，ｓｉｎα ＝０６，ＦＴ１ ＝ＦＴ２ ＝１０Ｎ． 同样分析可知：Ａ点向上 移动少许，重新平衡后，绳与 水平面夹角及张力均保持 不变． 而对于 变形题分析 节点 Ｏ的受 力如图４所示．由平衡条件可知：ＦＴ１、 ＦＴ２的合力与Ｇ等大反向，但ＦＴ１不等于 ＦＴ２，所以ＦＴ１ ＝ＦＴ２ｓｉｎθ，Ｇ＝ＦＴ２ｃｏｓθ． 但Ａ点向上移动少许，重新平衡后，绳ＯＡ、ＯＢ的张 力均要发生变化．请同学们自己思考一下如何变化． ２．“死杆”和“活杆”问题 例２．如图５所示，质量为ｍ的物 体用细绳ＯＣ悬挂在支架上的 Ｏ点， 轻杆ＯＢ可绕Ｂ点转动，求细绳ＯＡ中 张力ＦＴ大小和轻杆ＯＢ受力ＦＮ大小． 变形：如图６所示，水平横梁一端 Ａ插在墙壁内，另一端装有小滑轮Ｂ， 一轻绳一端Ｃ固定于墙壁上，另一端 跨过滑轮后悬挂一质量ｍ＝１０ｋｇ的 重物，∠ＣＢＡ＝３０°，则滑轮受到绳子 作用力为（ｇ取１０Ｎ／ｋｇ） （　　） 槡Ａ．５０Ｎ　　　Ｂ．５０３Ｎ 槡Ｃ．１００Ｎ　　 Ｄ．１００３Ｎ 解析：对于原题由于悬挂物体质量为ｍ，绳ＯＣ拉力 大小是 ｍｇ，将重力沿杆和 ＯＡ方向分解，可求 ＦＴ ＝ ｍｇ ｓｉｎθ ，ＦＮ ＝ｍｇｃｏｔθ． 变形题由于杆ＡＢ不可转动，是“死杆”，杆所受弹力 的方向不沿杆ＡＢ方向．由于Ｂ点处是滑轮，它只是改变 绳中力的方向，并未改变力的大小，滑轮两侧绳上拉力 大小均是１００Ｎ，夹角为１２０°，因此滑轮受绳子作用力即 是两绳拉力的合力，大小为１００Ｎ．故Ｃ正确． ! !" #$% ! " # $ ! ! ! ! " # $ % ! ! " & ' #$ ' #! ' ! % ' #$ ' #! ' #& (& ! & $ " " ! " ! ! # ) $ ! " # % &'" ! ( 书 所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物 体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处 于一系列的平衡状态中．求解动态平衡问题常用到如下 几种方法： 一、解析法 对研究对象进行受力分析，画出受力图，再根据物 体的平衡条件列式求解，得到应变量与自变量的一般函 数表达式，然后根据自变量的变化确定应变量的变化． 例１．如图１所示，长木板Ｌ的一 端固定在铰链上，木块放在木板上， 开始木板成水平位置．当木板向下 转动，θ角逐渐增大的过程中，摩擦 力ｆ的大小随 θ角变化最有可能的 是下图中 （　　） 解析：当θ较小时物块与木板间的摩擦力为静摩擦 力，摩擦力大小与物块重力沿板方向的分力大小相等， 其大小为：ｆ＝ｍｇｓｉｎθ，按正弦规律变化；当 θ较大时物 块与木板间的摩擦力为滑动摩擦力，摩擦力大小为：ｆ＝ μｍｇｃｏｓθ