13期 向量在立体几何中的应用-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 空间向量的引入，使立体几何问题的难度大大降 低．因此，正确理解和运用向量方法，对备战高考有重要 意义． 一、异面直线ｍ，ｎ所成的角 例１直棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＢＢ１ ＝ ｃ，求异面直线 ＡＢ１与 ＢＣ１所成角的余 弦值． 解：如图１，以 Ｂ为坐标原点，ＢＡ， ＢＣ，ＢＢ１所在的直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建 立空间直角坐标系，则 Ａ（ａ，０，０）， Ｂ１（０，０，ｃ），Ｃ１（０，ｂ，ｃ），ＡＢ → １ ＝（－ａ，０，ｃ），ＢＣ → １ ＝（０，ｂ，ｃ）， 故ｃｏｓ〈ＡＢ→ １，ＢＣ→ １〉＝ ＡＢ→ １·ＢＣ→ １ ｜ＡＢ→ １｜·｜ＢＣ→ １｜ ＝ ｃ ２ （ａ２＋ｃ２）（ｂ２＋ｃ２槡 ） ， 所以异面直线 ＡＢ１与 ＢＣ１所成角的余弦值为 ｃ２ （ａ２＋ｃ２）（ｂ２＋ｃ２槡 ） ． 二、直线ｌ与平面α所成的角 例２已知正三棱柱 ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的侧棱长为２，底面边长为１．求ＡＢ１与 侧面ＡＣＣ１Ａ１所成角的正弦值． 解：如图２，建立以 Ａ为坐标原点 的空间直角坐标系，则ＡＡ→ １ ＝（０，０，２），→ＡＣ＝（０，１，０）， 设平面ＡＣＣ１Ａ１的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则有 ｎ⊥ＡＡ→ １ ｎ⊥ → }ＡＣ ２ｚ＝０ｙ＝ }０ ｙ＝ｚ＝０， 所以ｎ＝（ｘ，０，０）， 取ｎ＝（１，０，０）， 则｜ｃｏｓ〈ＡＢ→ １，ｎ〉｜＝ ｜ＡＢ→ １·ｎ｜ ｜ＡＢ→ １｜·｜ｎ｜ ( ＝ 槡３ ２， １ ２， )２ ·（１，０，０ ( ） 槡３)２ ２ (＋ １ )２ ２ ＋２槡 ２· １槡 ２ ＝槡１５１０， 故ＡＢ１与侧面ＡＣＣ１Ａ１所成角的正弦值为槡 １５ １０． 三、二面角 例３如图３，在长方体 ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ分别是棱ＢＣ， ＣＣ１上的点，ＣＦ＝ＡＢ＝２ＣＥ，ＡＢ∶ ＡＤ∶ＡＡ１ ＝１∶２∶４． （１）证明：ＡＦ⊥平面Ａ１ＥＤ； （２）求平面 Ａ１ＥＤ与平面 ＦＥＤ夹角的正弦值． 解：如图４，建立空间直角坐 标系Ａｘｙｚ，不妨设ＡＢ＝１，则Ａ（０， ０，０），Ｄ（０，２，０），Ｅ１，３２，( )０， Ｆ（１，２，１），Ａ１（０，０，４）． （１）因为→ＡＦ＝（１，２，１）， Ａ１ → Ｅ＝ １，３２，－( )４，Ａ１→ Ｄ＝ （０，２，－４）， 所以 →ＡＦ·Ａ１→ Ｅ＝１＋２× ３ ２－４＝０， →ＡＦ·Ａ１→ Ｄ＝２×２－４＝０， 所以ＡＦ⊥Ａ１Ｅ，ＡＦ⊥Ａ１Ｄ， 因为Ａ１Ｅ∩Ａ１Ｄ＝Ａ１， 所以ＡＦ⊥平面Ａ１ＥＤ． （２）设平面ＥＦＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 因为 →ＥＦ＝ ０，１２，( )１，→ＥＤ＝ －１，１２，( )０， 所以由ｎ·→ＥＦ＝０，ｎ·→ＥＤ＝０，得 １ ２ｙ＋ｚ＝０， －ｘ＋１２ｙ＝０ { ， 令ｚ＝１，则ｘ＝－１，ｙ＝－２． 所以ｎ＝（－１，－２，１）． 由（１）可知→ＡＦ＝（１，２，１）是平面Ａ１ＥＤ的一个法向 量，设平面Ａ１ＥＤ与平面ＦＥＤ夹角为θ，则观察图形可知 θ为锐角，所以ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ〈→ＡＦ，ｎ〉｜ ＝ （１，２，１）·（－１，－２，１） （槡６） ２ ＝ ２ ３， 所以ｓｉｎθ＝ １－ ２( )３槡 ２ ＝槡５３． 所以平面Ａ１ＥＤ与平面ＦＥＤ夹角的正弦值为槡 ５ ３． 书 空间中的存在性问题是近几年高考热点题型，如果 用向量的方法求解，便可以使问题化难为易，能够避免 复杂的转化与逻辑推理，可操作性强． 一、解决线线垂直问题 例１如图１，在三棱锥Ｐ－ ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为 ＢＣ的 中点，ＰＯ⊥平面ＡＢＣ，垂足Ｏ 落在线段ＡＤ上，已知ＢＣ＝８， ＰＯ＝４，ＡＯ＝３，ＯＤ＝２． （１）证明：ＡＰ⊥ＢＣ； （２）在线段 ＡＰ上是否存 在点Ｍ，使得平面ＡＭＣ与平面 ＢＭＣ的夹角为９０°？若存在，求 出ＡＭ的长；若不存在，请说明 理由． 解：以Ｏ为坐标原点，以ＯＤ， ＯＰ所在的直线分别为ｙ，ｚ轴建立 空间直角坐标系，如图２所示．则 Ｏ（０，０，０），Ａ（０，－３，０），Ｂ（４，２， ０），Ｃ（－４，２，０），Ｐ（０，０，４）． （１）→ＡＰ＝（０，３，４），→ＢＣ＝ （－８，０，０），由此可得→ＡＰ·→ＢＣ ＝０， 所以 →ＡＰ⊥ →ＢＣ，即ＡＰ⊥ＢＣ． （２）假设在线段ＡＰ上存在点Ｍ，设 →ＰＭ＝λ→ＰＡ，λ≠ １，则 →ＰＭ＝λ（０，－３，－４），→ＢＭ＝→ＢＰ＋→ＰＭ＝→ＢＰ＋λ→ＰＡ ＝（－４，－２－３λ，４－４λ），→ＡＣ＝（－４，５，０）． 设平面ＭＢＣ的法向量为ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），平面ＡＰＣ 的法向量为ｎ２ ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）． 由 →ＢＭ·ｎ１ ＝０， →ＢＣ·ｎ１