12期 空间直角坐标系,空间向量与向量运算,空间向量基本定理及向量的直角坐标运算-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 　　　　　　　　　　　　　　　 １．下列说法中正确的是 （　　） （Ａ）若｜ａ｜＝｜ｂ｜，则ａ，ｂ的长度相同，方向相同或相反 （Ｂ）若向量ａ是向量ｂ的相反向量，则｜ａ｜＝｜ｂ｜ （Ｃ）空间向量的减法满足结合律 （Ｄ）在四边形ＡＢＣＤ中，一定有→ → →ＡＢ＋ＡＤ＝ＡＣ ２．在空间四边形ＡＢＣＤ中，→ＡＢ＝ａ，→ＢＣ＝ｂ，→ＡＤ＝ｃ， 则 →ＣＤ＝ （　　） （Ａ）ａ＋ｂ－ｃ （Ｂ）ｃ－ａ－ｂ （Ｃ）ａ－ｂ－ｃ （Ｄ）ｂ－ａ＋ｃ ３．已知在空间四边形ＡＢＣＤ中，连接ＡＣ，ＢＤ，设Ｇ是 ＣＤ的中点，则→ＡＢ＋１２（ → →ＢＤ＋ＢＣ）＝ ． ４．在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，化简向量表达式 → → → →ＡＢ＋ＣＤ＋ＢＣ＋ＤＡ的结果为 ． ５．在空间四边形ＡＢＣＤ中，→ＡＢ＝ａ－２ｃ，→ＣＤ＝５ａ＋ ６ｂ－８ｃ，设对棱 ＡＣ，ＢＤ的中点分别为 Ｅ，Ｆ，则→ＥＦ＝ ． 二、空间向量的数量积运算 １．下列结论中正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）（ａ·ｂ）ｃ＝ａ（ｂ·ｃ） （Ｂ）若ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜，则ａ，ｂ共线 （Ｃ）非零向量ａ，ｂ，ｃ，若ａ·ｃ＝ｂ·ｃ，则ａ＝ｂ （Ｄ）若ａ２ ＝ｂ２，则ａ＝±ｂ ２．已知｜ａ｜＝２，｜ｂ｜＝３，〈ａ，ｂ〉＝６０°，则｜ａ－ｂ｜＝ （　　） （Ａ）槡７　　　 （Ｂ）７ （Ｃ）槡６　　　 （Ｄ）６ ３．（多选）在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，下面选项 正确的是 （　　） （Ａ）（Ａ１ → Ａ＋Ａ１→ Ｄ１＋Ａ１→ Ｂ１）２ ＝３（Ａ１→ Ｂ１）２ （Ｂ）Ａ１ → Ｃ·（Ａ１→ Ｂ１－Ａ１→ Ａ）＝０ （Ｃ）→ＡＤ１与Ａ１→ Ｂ的夹角为６０° （Ｄ）此正方体的体积为｜→ＡＢ·→ＡＡ１·→ＡＤ｜ ４．已知单位向量ａ，ｂ，ｃ两两垂直，则（２ａ－２ｂ＋４ｃ） ·（－ａ－３ｂ＋２ｃ）＝ ． ５．已知Ａ，Ｂ，Ｃ∈平面α，点Ｐα，则“→ＡＰ·→ＡＢ＝０， 且 →ＡＰ·→ＡＣ＝０”是“→ＡＰ·→ＢＣ＝０”的 条件．（填 “充分不必要”或“必要不充分”） 三、空间向量及其运算的坐标表示 １．以下四个命题中正确的是 （　　） （Ａ）空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 （Ｂ）若｛ａ，ｂ，ｃ｝为空间向量的一组基底，则 ａ，ｂ，ｃ 全不是零向量 （Ｃ）△ＡＢＣ为直角三角形的充要条件是→ＡＢ·→ＡＣ＝０ （Ｄ）任何三个不共线的向量都可构成空间向量的 一个基底 ２．在空间直角坐标系 Ｏｘｙｚ中，已知点 Ａ的坐标为 （－１，２，１），点 Ｂ的坐标为（１，３，４），则 （　　） （Ａ）→ＡＢ＝（－１，２，１） （Ｂ）→ＡＢ＝（２，１，３） （Ｃ）→ＡＢ＝（１，３，４） （Ｄ）→ＡＢ＝（－２，－１，－３） ３．已知向量ａ＝（－３，２，１），ｂ＝（１，ｘ，－１），且ａ· ｂ＝２，则ｘ的值为 （　　） （Ａ）３　　　（Ｂ）４　　　（Ｃ）５　　　（Ｄ）６ ４．已知向量 ａ＝（２，－１，３），ｂ＝（－４，２，ｘ），若 ａ⊥ｂ，则ｘ＝ ． ５．已知向量ａ＝（－１，２，３），ｂ＝（１，１，１），则向量ａ 在向量ｂ上的投影向量为 ． （参考答案见下期） !"#$%&'" ()*+,-'. ! " !" #"$ %! !"""" #"##&$'#%( !"#$ %&' ()*+,-./ !"#$%&'( !")%*+,-./01 !")%23456789': ;<=>?@6789ABCD @EFGABHIJK LMNOPQH&'!()"*"*+R,S 书 空间向量及其运算的重点与热点在于运用空间向 量的运算、数量积、空间向量的基本定理等知识来解决 证明、求值问题．我们本节的热点问题直击也是围绕这 些问题而展开的． 热点问题１：利用空间向量的运算表示未知向量 例１如图１所示，在平行 六面体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ 分 →ＡＣ所成的比为 １２，Ｎ分Ａ１ → Ｄ 所成的比为２．设→ＡＢ＝ａ，→ＡＤ＝ ｂ，→ＡＡ１ ＝ｃ，试用 ａ，ｂ，ｃ表示 →ＭＮ． 解：连接ＡＮ，ＭＮ，则 →ＭＮ＝→ＭＡ＋→ＡＮ． 已知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以→ＡＣ＝→ＡＢ＋ →ＡＤ＝ａ＋ｂ，→ＭＡ＝－１３ →ＡＣ＝－１３（ａ＋ｂ）． Ａ１ → Ｄ＝→ＡＤ－→ＡＡ１ ＝ｂ－ｃ， 因为Ｎ分Ａ１ → Ｄ所成的比为２， 所以 →ＡＮ＝→ＡＤ＋→ＤＮ＝→ＡＤ－→ＮＤ ＝→ＡＤ－１３Ａ１ → Ｄ＝ １３（ｃ＋２ｂ）． 所以 →ＭＮ＝→ＭＡ＋→ＡＮ＝－１３（ａ＋ｂ）＋ １ ３（ｃ＋２ｂ） ＝ １３（－ａ＋ｂ＋ｃ）． 点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形， 以图形为指导是解题的关键． 热点问题２