第13期 3.4二元一次方程组的应用 3.5三元一次方程组及其解法(答案见15期)-【数理报】2022-2023学年七年级上册初一数学同步学案（沪科版 安徽专用）

书 列二元一次方程组解实际问题，需要快速地从问题 中找出相等关系，如何轻松、准确地从问题中挖掘出相 等关系呢？下面介绍三个小窍门供同学们参考． 窍门一：抓住问题中的关键语句 对于题面上直接呈现的相等关系，只要同学们把握 一些关键词语（和差、倍数、增减等），相等关系就会很容 易找到． （具体实例可参考本期本版《三法在手 设元不愁》 一文中的例１） 窍门二：借助表格分析 根据所要解决的问题，恰当地设出未知数，结合已 知条件，把一些相关的数量用表格列出来，借助表格找 相等关系． 例　某地区２０２０年的进出口总额为５２０亿元，２０２１ 年的进出口总额比２０２０年有所增加，其中进口额增加了 ２５％，出口额增加了３０％（注：进出口总额 ＝进口额 ＋ 出口额）． （１）设２０２０年的进口额为ｘ亿元，出口额为ｙ亿元， 请用含ｘ，ｙ的代数式填表： 年份 进口额 ／亿元 出口额 ／亿元 进出口总额 ／亿元 ２０２０ ｘ ｙ ５２０ ２０２１ １．２５ｘ １．３ｙ （２）已知２０２１年的进出口总额比２０２０年增加了 １４０亿元，求２０２１年的进口额和出口额分别是多少亿元？ 分析：（１）根据题意和表格中的数据，用含ｘ，ｙ的代 数式表示出２０２１年的进出口总额； （２）根据题意和表格中的数据，列出相应的方程 组，然后求解即可． 解：（１）由表格可得，２０２１年的进出口总额为 （１．２５ｘ＋１．３ｙ）亿元．故填１．２５ｘ＋１．３ｙ． （２）根据题意，得 ｘ＋ｙ＝５２０， １．２５ｘ＋１．３ｙ＝５２０＋１４０{ ． 解得 ｘ＝３２０， ｙ＝２００{ ． 所以１．２５ｘ＝４００，１．３ｙ＝２６０． 答：２０２１年的进口额是４００亿元，出口额是２６０亿元． 窍门三：利用图示法分析 借助画示意图的方法把已知条件和未知条件之间的 数量关系表示出来，相等关系在示意图上便一目了然． 例２　甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙 的西边３００米，若甲、乙两人同时向东走，那么３０分钟 后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，２分钟后 相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？ 分析：设甲的速度为 ｘ米 ／分，乙的速度为 ｙ米 ／分，则本题中的数 量关系如图所示．同向而行为追及问题，经过３０分钟，甲 追上乙，这时甲行３０ｘ米，乙行３０ｙ米，甲、乙行程的差是 ３００米；相向而行为相遇问题，２分钟后相遇，这时甲、乙 行程的和为３００米，在图中可很明显地反映出这些相等 关系． 解：设甲的速度是ｘ米 ／分，乙的速度是ｙ米 ／分． 根据题意，得 ３０ｘ－３０ｙ＝３００， ２ｘ＋２ｙ＝３００{ ． 解得 ｘ＝８０， ｙ＝７０{ ． 答：甲的速度是８０米 ／分，乙的速度是７０米 ／分． 书 （上接４版参考答案） 解得ｋ＝６． 所以当ｋ＝６时，二 元 一 次 方 程 组 ３ｍ－２ｎ＝２ｋ， ２ｍ＋７ｎ＝ｋ－{ １８ 的 解 ｍ，ｎ的值互为相反 数． １５．由 ① ×２＋② 可消去ｘ，得２（ｍ＋１）＋ ５－ｎ＝０． 由① ＋② ×５可消 去 ｙ，得 －（３ｎ＋２）＋ ５ｍ＝０． 解二元一次方程组 ２（ｍ＋１）＋５－ｎ＝０， －（３ｎ＋２）＋５ｍ＝０{ ， 得 ｍ＝－２３， ｎ＝－３９{ ． １６．我最欣赏乙同 学的解题思路． ３ｘ＋７ｙ＝５ｍ－３， ２ｘ＋３ｙ＝８{ ． ① ② ①＋②，得５ｘ＋１０ｙ ＝５ｍ＋５． 化简，得ｘ＋２ｙ＝ｍ ＋１． ③ 将③代入ｘ＋２ｙ＝ ５，得ｍ＋１＝５． 解得ｍ＝４． 理由：这样解题运 用了整体代入的思想， （下转２，３版中缝） 书 在二元一次方程组的实际应用题中，图形信息题 是一道亮丽的风景线，现撷取几例解析如下，供同学们 参考． 例１　根据如图１提供的信息，小红去商店买一只 水瓶和一只杯子应付 （　　） Ａ．３０元　　　　　　　　Ｂ．３２元 Ｃ．３１元　 Ｄ．３４元 分析：设购买一只水瓶需要ｘ元，购买一只杯子需要 ｙ元，根据给定的两种购买方案可得出关于ｘ，ｙ的二元一 次方程组，将两个方程相加，再除以３即可求出结论． 解：设购买一只水瓶需要ｘ元，购买一只杯子需要ｙ元． 根据题意，得 ｘ＋２ｙ＝３７， ２ｘ＋ｙ＝５６{ ． ①② （① ＋②）÷３，得ｘ＋ｙ＝３１． 故选Ｃ． 例２　如图２，是由７块颜色不 同的正方形组成的长方形，已知中 间小正方形的边长为１，则这个长方 形的面积为 （　　） Ａ．４５　　　　　　　　Ｂ．４８ Ｃ．６３ Ｄ．６４ 分析：设左下角的小正方形边长为ｘ，左上角最大的 正方形的边长为 ｙ，根据长方形的长和宽列出方程组求 解，进而求出长方形的面积即可． 解：设左下角的小正方形边长为ｘ，左上角最大的正 方形的边长为ｙ． 根据题意，得 ３ｘ－１＝ｙ， ３ｘ＋ｘ＋１＝ｙ＋ｙ－１{ ． 解得 ｘ＝２， ｙ＝５{ ． 所以长方形的长为：２＋２＋２＋