模块12 排列、组合与二项式定理 -中等职业教育对口升学招生考试数学复习教材

∗模块十二 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 排列、组合与二项式定理　　 备考目标 明确目标,重点复习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 理解分类计数原理和分步计数原理． 掌握排列数公式及一些常见的应用． 理解并掌握组合数公式和有关性质,会用公式和性质进行计算和恒等证明． 理解并掌握二项式定理及其展开式,能正用、逆用二项式定理． 掌握二项展开式的通项公式,并能运用它求展开式中指定的项． 知识清单 源于教材,夯实基础 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果 需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 二、排列与组合 (１)排列:从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数公式 是 Amn ＝n(n－１)(n－２)􀆺(n－m＋１)或 Amn ＝ n! (n－m)!． (２)组合:从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n 个不同元素中取 出m 个 元 素 的 一 个 组 合．从n 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 组 合 数 公 式 是 Cmn ＝ n(n－１)(n－２)􀆺(n－m＋１) m! 或Cmn ＝ n! m! (n－m)!． (３)组合数的性质 ①Cmn ＝Cn－mn ; ②Cmn＋１＝Cmn ＋Cm－１n ． 􀅰１５２􀅰 三、二项式定理 (１)二项式定理:(a＋b)n＝C０nanb０＋C１nan－１b＋C２nan－２b２＋􀆺＋Crnan－rbr＋􀆺＋Cnna０bn (r＝０,１,２,􀆺,n)． (２)二项展开式的通项 Tr＋１＝Crnan－rbr,r＝０,１,２,􀆺,n,其中Crn 叫做二项式系数． (３)二项式系数的性质 ①对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 C０n＝Cnn,C１n＝Cn－１n ,􀆺, Ckn＝Cn－kn ,􀆺． ②最大值:当n 为偶数时,中间一项的二项式系数C n ２ n 取得最大值;当n 为奇数时,中间 两项的二项式系数C n－１ ２n ,C n＋１ ２n 相等,且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C０n＋C１n＋C２n＋􀆺＋Ckn＋􀆺＋Cnn＝２n; b．C０n＋C２n＋􀆺＋C２rn ＋􀆺＝C１n＋C３n＋􀆺＋C２r＋１n ＋􀆺＝ １ ２ 􀅰２n＝２n－１． 典例解析 引领思路,讲求实效 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(１)将１,２,３,􀆺,９这９个数字填在如图的９个空格中,要求每一行从左到右,每一列 从上到下分别依次增大．当３,４固定在图中的位置时,填写空格的不同方法有 (　　) ３ ４ 　　A．６种 B．１２种 C．１８种 D．２４种 (２)如果一个三位正整数“a１a２a３”满足a１＜a２ 且a３＜a２,则称这样的三位数为凸数(如 １２０,３４３,２７５),那么所有凸数的个数为 (　　) A．２４０ B．２０４ C．７２９ D．９２０ 【解析】(１)因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,所以１,２,９只有一种 填法,５只能填在右上角或左下角,５填后与之相邻的空格可填６,７,８中的任一个． 余下两个数字按从小到大只有一种方法． 所以共有２×３＝６种不同的方法,故选 A． (２)分８类,当中间数为２时,有１×２＝２个; 当中间数为３时,有２×３＝６个; 当中间数为４时,有３×４＝１２个; 􀅰２５２􀅰 　　　全国高等职业院校招生考试复习教材　数学 当中间数为５时,有４×５＝２０个; 当中间数为６时,有５×６＝３０个; 当中间数为７时,有６×７＝４２个; 当中间数为８时,有７×８＝５６个; 当中间数为９时,有８×９＝７２个． 故共有２＋６＋１２＋２０＋３０＋４２＋５６＋７２＝２４０个凸数． 【点评】(１)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一 步当中又可能用到分类加法计数原理． (２)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直 观化． ２􀆰(１)有６名男医生、５名女医生,从中选出２名男医生、１名女医生组成一个医疗小组, 则不同的选法共有 (　　) A．６０种 B．７０种 C．７５种 D．１５０种 (２)已知函数f(x)＝ln(x２＋１)的值域为{０,１,２},则满足这样条件的函数的个数为 (　　) A．８ B．９ C．２６ D．２７ 【解析】(１)由题意知,选