模块09 圆锥曲线-中等职业教育对口升学招生考试数学复习教材

又因为△OAP 为直角三角形,所以 |PA|＝ |OP|２－|OA|２ ＝ １０２－５２ ＝５３． 　　２６􀆰(１)建立如图所示的直角坐标系,点C 的 坐标是(０,２０); (２)直线AC 的方程为 y＝ ４０－２０ ４０－０x＋２０ , 即x－２y＋４０＝０． D 到直线AC 的距离为 |０－０＋４０| １２＋(－２)２ ＝８ ５． ∗模块九　圆锥曲线 一、曲线与方程 １．C　【解析】由x２－y２＝０得,y＝x 或y＝ －x,故选C． ２．D　【解析】设Q(x,y),则P 为 (－２－x,４－y),代入２x－y＋３＝０ 得２x－y＋５＝０． ３．A　【解析】由题意知|AC|＝１３,|BC|＝１５, |AB|＝１４,又因为|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|,所以 |AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝２,故点F 的轨迹 是以A,B 为焦点,实轴长为２的双曲线的下支．又 c＝７,a＝１,b２＝４８,所以点F 的轨迹方程为y２－ x２ ４８＝１ (y≤－１)． ４．D　【解析】设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R,由于△ABP 为正三角形, 所以P 到y 轴的距离d＝ ３ ２R ,即 |x|＝ ３ ２R． 而R＝|PF|＝ (x－a)２＋y２ , 所以|x|＝ ３ ２ 􀅰 (x－a)２＋y２ ．整理得(x＋ ３a)２－３y２＝１２a２,即 x＋３a２ １２a２ － y２ ４a２＝１． 所以点P 的轨迹为双曲线． ５．A　【解析】设P(x,y),R(x０,y０), 则有RA→＝(１－x０,－y０),AP→＝(x－１,y)．又 RA→＝２AP→, 所以 １－x０＝２(x－１), －y０＝２y．{ 所以 x０＝－２x＋３, y０＝－２y．{ 又R(x０,y０)在圆x２＋y２＝４上, 所以(－２x＋３)２＋(－２y)２＝４, 即(x－ ３ ２ )２＋y２＝１． ６．C　【解析】设交点为P(x,y), A１(－３,０),A２(３,０),P１(x０,y０), P２(x０,－y０), 因为A１,P１,P 共线,所以 y－y０ x－x０＝ y x＋３．① 因为A２,P２,P 共线,所以 y＋y０ x－x０＝ y x－３．② 由①②解得x０＝ ９ x ,y０＝ ３y x , 代入 x２０ ９＋ y２０ ４＝１ ,化简得x ２ ９－ y２ ４＝１． 　　７． x２ ９－ y２ １６＝１ (x＞３) 【解析】如图,|AD|＝|AE|＝８, |BF|＝|BE|＝２,|CD|＝|CF|, 所以|CA|－|CB|＝８－２＝６． 根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B 为焦点, 实轴长为６的双曲线的右支,方程为 x２ ９－ y２ １６＝１ (x＞３)． 􀅰５８２􀅰 参考答案　　　　 ８． x２ ４a２＋ y２ ４b２＝１ 【解析】如图所示,由OQ→＝PF１→＋PF２→, 又PF１→＋PF２→＝PM→＝２PO→＝－２OP→, 设Q(x,y),则OP→＝－１２OQ →＝(－x２,－ y ２ ), 即P 点坐标为(－ x ２ ,－ y ２ ),又P 在椭圆上,则有 (－ x ２ )２ a２ ＋ (－ y ２ )２ b２ ＝１ , 即 x２ ４a２＋ y２ ４b２＝１． ９．以O,A 为焦点,OB 为实轴长的双曲线　 【解析】如图,连结AP,由于P 是线段AB 垂直平 分线上一点,故有|PA|＝|PB|, 因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝ R＝定值,其中R 为☉O 的半径． 又由于点A 在圆外,故R＜|OA|, 故动点P 的轨迹是以O,A 为焦点,OB 为实 轴长的双曲线． １０．解:(１)显然直线l的斜率存在,设切线方 程为y－２＝k(x－１),由 |２－k| k２＋１ ＝２,得k１＝０, k２＝－ ４ ３ ,从而所求的切线方程为y＝２和４x＋ ３y－１０＝０． (２)当直线l垂直于x 轴时,此时直线方程为 x＝１,l 与 圆 的 两 个 交 点 坐 标 为 (１,３)和 (１, － ３),这两点的距离为２ ３,满足题意． 当直线l不垂直于x 轴时,设其方程为y－ ２＝k(x－１),即kx－y－k＋２＝０, 设圆心到此直线的距离为d(d＞０),则２ ３＝ ２ ４－d２ , 所以d＝１,从而１＝ |－k＋２| k２＋１ ,解得k＝ ３ ４ ,此 时直线方程为３x－４y＋５＝０． 综上所述,所求直线方程为３x－４y＋５＝０ 或x＝１． (３)设点Q 的坐标为(x,y),点 M 坐标是(x０, y０),ON→ ＝ (０,y０ ),因 为 OQ→ ＝ OM→ ＋ ON→, 所以(x,y)＝(x０,２y０),x＝x０,y＝２y０．因为x２０＋ y２０＝４,所以x２＋( y ２ )２＝４,即 x２ ４＋ y２ １６＝１． 所以Q 点