第03讲 不等式与基本不等式（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第3讲 不等式与基本不等式 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：不等关系和不等式性质 必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值 必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值 必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题 必会题型五：基本不等式综合问题 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．实数‍a，b‍大小的比较 ；； 2．性质‍‍传递性‍‍：如果‍‍且‍那么‍‍ 3．性质‍‍可加性‍‍：‍如果‍那么‍‍ 4．性质‍‍可乘性‍ ‍如果‍‍那么‍ ‍如果‍‍那么 5．性质‍4(‍同向可加性‍)‍：如果‍那么‍． 6．性质‍5(‍同向同正可乘性‍)： ‍如果‍‍那么‍ ‍如果‍‍那么‍ 推论‍‍正数乘方性‍‍当‍‍时其中‍ ‍7．性质‍6(‍正数开方性‍)：‍当‍‍时‍其中‍ 8．基本不等式 对于任意实数‍‍和‍‍总是成立的，即‍‍所以‍‍当且仅当‍‍时，等号成立． 设‍‍取‍‍代入上述不等式可得 ‍当且仅当‍‍时，等号成立． 这个不等式称为基本不等式，其中，‍‍称为‍‍的算术平均值‍称为‍‍的几何平均值．‍因此，基本不等式又称为均值不等式． 9．一个不等式链： 0‍)， 当且仅当‍‍时等号成立，‍其中‍‍分别叫作正数的调和平均数，几何平均数、算术平‍均数、平方平均数． 10．当‍‍均为正数时，下面的命题均成立： (1)‍若‍‍为定值‍则当且仅当‍‍时，‍‍取得最大值‍ (2)‍若‍‍为定值‍‍则当且仅当‍‍时，‍‍取得最小值‍． 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：不等关系和不等式性质 1．(2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一阶段练习)下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．[多选](2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)下列结论中不正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．[多选](2022·山东青岛·高一期中)对实数a，b，c，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若则 D．恒成立 4．(2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习)(1)若，求的取值范围； (2)已知，，求的取值范围． 必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值 1．(2022·北京市昌平区前锋学校高一期中)已知，则的最小值是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知，那么的最小值为(    ) A． B． C． D． 3．(2022·海南·海口中学高一期中)当时，则的最大值为______． 4．(2022·浙江·高一期中)若，则的最小值是__________ 5．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知正实数满足：． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值 1．(2023·四川资阳·模拟预测)已知a，b均为正数，且，则的最小值为(    ) A．8 B．16 C．24 D．32 2．(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)若正实数x，y满足，则(    ) A．有最小值8 B．有最小值9 C．有最大值8 D．有最大值9 3．(2022·四川成都·高二期中)已知，，且，则当取最小值时，=______． 4．(2022·上海市松江二中高一期中)已知，则的最小值为__________． 5．(2022·上海交通大学附属中学浦东实验高中高一期中)已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值； 必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题 1．(2022·江苏省奔牛高级中学高一阶段练习)实数a，b，c满足，，，则的最小值为(    ) A． B．1 C． D． 2．(2022·江苏·星海实验中学高一期中)若正实数，，满足，则的最大值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 3．[多选](2022·江苏省扬中高级中学高一期中)已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是(    ) A． B． C．的最大值为1 D．的最小值为 4．(2022·江苏南通·高一期中)若不等式，对一切恒成立，则实数的取值范围(    ) A． B． C． D． 5．(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知正实数x、y满足． (1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值； (2)若的最小值为9，求a的值． 必会题型五：基本不等式综合问题 1．(2022·辽宁·高三期中)若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为(    ) A．6 B．