4.2 第4课时 等差数列前n项和的性质及应用-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.2　等差数列 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第4课时 等差数列前n项和的性质及应用 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 －110 5 D 课堂评价·及时反馈 15 C 2.5 BC A Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2. 掌握等差数列前n项和的性质及其应用． 3. 会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题. 类型1　等差数列前n项和的性质 　(1) 在等差数列{an}中，若S10＝100，S100＝10，则S110＝___________. 【解析】 方法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×10－1,2)d＝100，,100a1＋\f(100×100－1,2)d＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1 099,100)，,d＝－\f(11,50).)) 所以S110＝110a1＋eq \f(110×110－1,2)d＝110×eq \f(1 099,100)＋eq \f(110×109,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,50)))＝－110. 方法二：因为S10＝100，S100＝10，所以S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝eq \f(90a11＋a100,2)＝－90， 所以a11＋a100＝－2.又因为a1＋a110＝a11＋a100＝－2，所以S110＝eq \f(110a1＋a110,2)＝－110. 方法三：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，所以设公差为d，数列前100项和为10×100＋eq \f(10×9,2)d＝10，解得d＝－22.所以前110项和S110＝11×100＋eq \f(10×11,2)d＝11×100＋10×eq \f(11,2)×(－22)＝－110. 方法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，则eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(d,2)(n－1)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，其公差为eq \f(d,2).所以eq \f(S100,100)－eq \f(S10,10)＝(100－10)×eq \f(d,2)， 且eq \f(S110,110)－eq \f(S100,100)＝(110－100)×eq \f(d,2).代入已知数值，消去d，可得S110＝－110. 方法五：令Sn＝An2＋Bn.因为S10＝100，S100＝10， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(100A＋10B＝100，,10 000A＋100B＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝－\f(11,100)，,B＝\f(111,10).)) 所以S110＝1102A＋110B＝1102×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,100)))＋110×eq \f(111,10)＝－110. (2) 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为______. 【解析】 方法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多eq \f(354×32－27,32＋27)＝30，其值为6d，则d＝5. 方法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝354，,\f(x,y)＝\f(32,27)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝192，,y＝162，)) 所以6d＝192－162＝30，所以d＝5. 方法三：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(12a1＋\f(12×11,2)d＝354，　①,\f(6a1＋d＋\f(6×5,2)×2d,6a1＋\f(6×5,2)×2d)＝\f(32,27)，　②)) 由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5. (3) 设等差数列{an}和{bn}的前