4.2 第2课时 等差数列的性质-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.2　等差数列 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第2课时 等差数列的性质 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 B C C B C －11 A D 课堂评价·及时反馈 C A C BC Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 能用等差数列的定义推导等差数列的性质． 2. 能用等差数列的性质解决一些相关问题． 3. 能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 类型1　等差数列的性质 　(1) (P17例5补充)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( ) A. 7 B. 14 C. 21 D. 7(n－1) 【解析】 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. (2) 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( ) A. 0 B. 37 C. 100 D. －37 【解析】 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又因为d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100. (1) 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有： 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2) 下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 变式　(1) 在等差数列{an}中，若4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，则a4＋a9等于( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【解析】 在等差数列{an}中，4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，由等差数列的性质可得12a5＋12a8＝132，所以a5＋a8＝11，则a4＋a9＝a5＋a8＝11. (2) 已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为( ) A. －6 B. 6 C. 0 D. 10 【解析】 由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6. 类型2　等差数列的实际应用 　(P16例3变式)经济的发展带动了市民对住房的需求．假设某市2021年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米，那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份是( ) A. 2028 B. 2029 C. 2030 D. 2031 【解析】 设从2021年开始，该市每年新建住房面积为an万平方米．由题意可知{an}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50，所以an＝400＋(n－1)50＝50n＋350，令50n＋350＞820，解得n＞eq \f(47,5).由于n∈N*，则n≥10，2 021＋(10－1)＝2 030，所以该市在2030年新建住房面积开始大于820万平方米． 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 变式　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是____________ ℃. 【解析】 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，所以an＝15－6.5n，所以a4＝－11. 类型3　等差数列的单调性 　(1) 在数列{an}