4.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.2　等差数列 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第1课时 等差数列的概念及通项公式 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 A D B AC Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 理解等差数列与等差中项的概念． 2. 掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 3. 掌握等差数列的判断与证明方法. 类型1　等差数列的判定 　判断下列数列是否为等差数列． (1) 在数列{an}中，an＝3n＋2； 【解析】 (1) an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2) 在数列{an}中，an＝n2＋n. 【解析】 (2) an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 判断等差数列的方法： (1) 定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列； (2) 等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列； (3) 通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 变式　已知函数f(x)＝eq \f(3x,x＋3)，数列{an}的通项由an＝f(an－1)(n≥2且n∈N*)确定．求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列． 【解析】 因为an＝f(an－1)＝eq \f(3an－1,an－1＋3)(n≥2且n∈N*)，所以eq \f(1,an)＝eq \f(an－1＋3,3an－1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,an－1)， 所以eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,3)(n≥2且n∈N*)，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列． 类型2　等差数列的通项公式及其应用 　(P14例1补充)在等差数列{an}中： (1) 已知a3＝－2，d＝3，求数列{an}的通项公式； 【解析】 (1) 因为a3＝－2，d＝3，且an＝a3＋(n－3)d，所以an＝－2＋(n－3)×3＝3n－11. (2) 若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值． 【解析】 (2) 因为an＝a5＋(n－5)d，a5＝11，an＝1，d＝－2，所以1＝11＋(n－5)×(－2)，所以n＝10. (1) 等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2) 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． (3) 通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数． 变式　(P15例2补充)在等差数列{an}中： (1) 若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； 【解析】 (1) 设等差数列{an}的公差为d， 因为a5＝15，a17＝39，所以d＝eq \f(a17－a5,17－5)＝2，所以an＝a5＋(n－5)d＝15＋2(n－5)＝2n＋5， 令2n＋5＝91，解得n＝43，所以91是此数列中的项． (2) 若a2＝11，a8＝5，求a10. 【解析】 (2) 因为a2＝11，a8＝5，所以d＝eq \f(a8－a2,8－2)＝－1，所以a10＝a2＋(10－2)d＝11＋8×(－1)＝3. 类型3　等差中项及其应用 　(1) 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 【解析】 (1) 因为－1，a，b，c,7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项，则b＝eq \f(－1＋7,2)＝3. 因为a是－1与3的等差中项，所以a＝eq \f(－1＋3,2)＝1. 因为c是3与7的等差中项，所以c＝eq \f(3＋7,2)＝5. 所以该数列为－1,1,3,5,7. (2) 已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也成等差数列． 【解析】 (2) 因为eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，所以eq \f(2,b)＝eq \f(1