4.1 第2课时 数列的递推公式-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.1　数列的概念 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第2课时 数列的递推公式 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 B B A AC Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题． 2. 会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式． 3. 会用递推公式求数列的特定项及通项. 类型1　由递推公式写出数列的项 　已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋eq \f(－1n,2)(n∈N*，且n>1)，写出数列{an}的前5项． 【解析】 由题意得a2＝3a1＋eq \f(－12,2)，又因为a1＝1，所以a2＝3×1＋eq \f(－12,2)＝eq \f(7,2). 同理，a3＝3a2＋eq \f(－13,2)＝10，a4＝3a3＋eq \f(－14,2)＝eq \f(61,2)，a5＝3a4＋eq \f(－15,2)＝91. 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 类型2　由递推公式求通项 　(P6例5补充)在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(2an－1,2＋an－1)(n≥2)，求a2，a3，a4，a5，并归纳出an. 【解析】 因为a1＝1，an＝eq \f(2an－1,2＋an－1)(n≥2)，所以a2＝eq \f(2a1,2＋a1)＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(2a2,2＋a2)＝eq \f(2,4)，a4＝eq \f(2a3,2＋a3)＝eq \f(2,5)，a5＝eq \f(2a4,2＋a4)＝eq \f(2,6)，由eq \f(2,2)，eq \f(2,3)，eq \f(2,4)，eq \f(2,5)，eq \f(2,6)，…，可以归纳出an＝eq \f(2,n＋1). 结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可． 类型3　an与Sn关系的应用 　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝______________ 【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.)) 仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一项”．数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，切记！ 变式　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则数列{an}的通项公式为an＝ __________________ 【解析】 由题知a1＝S1＝1＋2＝3，　① 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2)－[(n－1)2＋2]＝2n－1.　② 在②中，当n＝1时，2×1－1＝1，故a1不适合②式． 所以数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n－1，n≥2.)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n－1，n≥2.)) 1. 已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝eq \f(1,2)an＋eq \f(1,2n)，则此数列的第4项是( ) A. 1 B. eq \f(1,2) C. eq \f(3,4) D. eq \f(5,8) 【解析】 a2＝eq \f(1,2)a1＋eq \f(1,2)＝1；a3＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)；a4＝eq \f(1,2)a3＋eq \f(1,8)＝eq \f(1,2). 2. 数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A. an＋1＝an＋n，n∈N* B. an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C. an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D. an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 【解析】 由已知得a2－a1＝2，a3－