5.3 第2课时 函数单调性的应用-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第五章　一元函数的导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第2课时 函数单调性的应用 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 B A A B 课堂评价·及时反馈 D D D B ABC Thank you for watching 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 能利用函数单调性比较大小及解不等式； 2. 能对含参数的函数讨论单调性，利用单调性求参数范围. 类型1　含参函数的单调性 　已知函数f(x)＝lnx－(a＋2)x＋ax2(a∈R)，讨论 f(x)的单调区间． 【解析】 f(x)＝lnx－(a＋2)x＋ax2的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)－(a＋2)＋2ax＝eq \f(2ax2－a＋2x＋1,x)＝eq \f(2x－1ax－1,x). ①当a≤0时，f(x)与f′(x)在(0，＋∞)上的变化情况如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) f′(x) ＋ 0 － f(x)   所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内单调递减． ②当0<a<2时，f(x)与f′(x)在(0，＋∞)上的变化情况如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,a))) eq \f(1,a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞)) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)    所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))内单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,a)))内单调递减． ③当a＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ④当a>2时，f(x)与f′(x)在(0，＋∞)上的变化情况如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a))) eq \f(1,a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，\f(1,2))) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)    所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，\f(1,2)))内单调递减． 含参函数单调性的讨论，一般包括f′(x)＝0是否有解、有几个解、解是否在定义域内、解的大小等情况．通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准． 变式　求函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2－2ax＋1的单调性． 【解析】 令f′(x)＝x2＋2ax－2a＝0，其判别式为Δ＝4a2＋8a，若Δ≤0，即－2≤a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；若Δ>0，即a<－2或a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝eq \f(－2a－\r(4a2＋8a),2)或x2＝eq \f(－2a＋\r(4a2＋8a),2)，其中x2>x1，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>x2或x<x1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，当－2≤a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a<－2或a>0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2