5.2 第1课时 基本初等函数的导数-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第五章　一元函数的导数及其应用 5.2　导数的运算 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第1课时 基本初等函数的导数 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 －sin t 课堂评价·及时反馈 D B C CD Thank you for watching 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 能根据导数的定义求出一些常用函数的导数； 2. 能利用导数公式计算基本初等函数的导数. (3) y＝eq \f(2x,3x). 【解析】y＝eq \f(2x,3x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，所以y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))xlneq \f(2,3). 类型1　利用公式求导数 　(P75例1补充)求下列函数的导数： (1) f(x)＝eq \r(3,x)； 【解析】f(x)＝eq \r(3,x)＝xeq \s\up17(\f(1,3))，所以f′(x)＝eq \f(1,3)xeq \s\up17(-\f(2,3)). (2) y＝eq \f(1,\r(x))； 【解析】y＝eq \f(1,\r(x))＝xeq \s\up17(-\f(1,2))，所以y′＝－eq \f(1,2)xeq \s\up17(-\f(3,2)). 求函数的导数的常见类型及解题技巧： (1) 对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式． (2) 对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3) 对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4) 对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导． (3) y＝log3x； 【解析】y′＝eq \f(1,xln3). (4) y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)). 【解析】因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝cosx，所以y′＝－sinx. 变式　求下列函数的导数： (1) y＝x－5； 【解析】y′＝－5x－6. (2) y＝4x； 【解析】y′＝4xln4. 类型2　求曲线的切线方程 　已知曲线y＝eq \f(1,x). (1) 求曲线在点P(1,1)处的切线方程； 【解析】 因为y＝eq \f(1,x)，所以y′＝－eq \f(1,x2). (1) 显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝eq \f(1,x)在点P(1,1)处的导数， 即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2) 求过点Q(1,0)的曲线的切线方程． 【解析】显然点Q(1,0)不在曲线y＝eq \f(1,x)上，则可设过该点的切线的切点为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－eq \f(1,a2).则切线方程为y－eq \f(1,a)＝－eq \f(1,a2)(x－a)．① 将点Q(1,0)代入方程得0－eq \f(1,a)＝－eq \f(1,a2)(1－a)．解得a＝eq \f(1,2)，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况： (1) 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； (2) 如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 变式　已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，求实数k的值． 【解析】 曲线y＝lnx的导数为y′＝eq \f(1,x)，设切点为P(x0，lnx0)，则过点P的切线方程为y－lnx0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，代入(0,0)点，得x0＝e，所以P点坐标为(e,1)，所以k＝eq \f(1,e). 类型3　导数的实际应用 　某质点的运动方程是S(t)＝sint，则质点在t＝eq \f(π,3)时的速度为__________，质点运动的加速度为_________________. 【解析】 v(t)＝S′(t)＝cos t，所以veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，即质点在t＝eq \f(π,3)时的速度为eq \f(1,2).因为v(t)＝cos t，所以加速度a(t)＝