4.3 第2课时 等比数列的性质-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.3　等比数列 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第2课时 等比数列的性质 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 18 B B 课堂评价·及时反馈 A A C B AC Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 掌握等比数列的性质并会应用； 2. 熟练掌握等比数列的判定方法； 3. 能用等比数列解决简单的实际应用问题. eq \f(1,4) 类型1　等比数列的性质 　(1) 在等比数列{an}中，若a3＝eq \f(1,2)，a9＝3，则a15＝__________. 【解析】 由等比数列的性质知a3a15＝aeq \o\al(2,9)，故a15＝eq \f(a\o\al(2,9),a3)＝eq \f(32,\f(1,2))＝18. (2) 已知公比为q的等比数列{an}，若a5＋a9＝eq \f(1,2)q，则a6(a2＋2a6＋a10)＝__________. 【解析】 因为a5＋a9＝eq \f(1,2)q，所以a4＋a8＝eq \f(1,2)，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2aeq \o\al(2,6)＋a6a10＝aeq \o\al(2,4)＋2a4a8＋aeq \o\al(2,8)＝(a4＋a8)2＝eq \f(1,4). (1) 若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq \o\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列． (2) 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq. (3) 等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4) 在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. 变式　(1) 已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. －2 【解析】 因为y＝(x－1)2＋2，所以b＝1，c＝2.又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2. (2) 已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2aeq \o\al(2,5)，a2＝1，则a1等于( ) A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(2),2) C. eq \r(2) D. 2 【解析】 因为a3·a9＝aeq \o\al(2,6)，所以aeq \o\al(2,6)＝2aeq \o\al(2,5)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a6,a5)))2＝2，所以q2＝2.因为q>0，所以q＝eq \r(2).又a2＝1，所以a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). 类型2　等比数列的判定 　(P32例5补充)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，求证：{an}是等比数列． 【解析】 当n＝1时，S1＝a1＝22－2＝2.当n≥2时，Sn－1＝2n－2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n. 当n＝1时满足an＝2n.而eq \f(an,an－1)＝eq \f(2n,2n－1)＝2(n≥2)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 等比数列的判断方法主要有如下两种： (1) 定义法，若eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q≠0，n≥2，n∈N*)，数列{an}是等比数列； (2) 等比中项公式法，在数列{an}中，若an≠0且aeq \o\al(2,n－1)＝an·an－2(n≥3，n∈N*)，则数列{an}是等比数列． 变式　已知数列{an}满足：a1＝eq \f(1,2)，an＝4an－1＋1(n≥2)． (1) 求a1＋a2＋a3的值； 【解析】 (1) 由a1＝eq \f(1,2)，an＝4an－1＋1(n≥2)，得a2＝4a1＋1＝4×eq \f(1,2)＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，所以a1＋a2＋a3＝eq \f(1,2)＋3＋13＝eq \f(33,2). (2) 令bn＝an＋eq \f(1,3)，求证：数列{bn}是等比数列． 【