5.1 导数的概念及其意义（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1 导数的概念及其意义 一、物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 二、导数的平均变化率 函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 三、函数在x＝x0处的瞬时变化率 1、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 【注意】 （1）“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终. （2）“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数在处的导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关． 2、瞬时变化率的变形形式 四、导数的几何意义 1、切线的定义：当趋于零时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线在点A处“相切”，称直线l为曲线在点A处的切线． 2、导数的几何意义 函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 五、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 题型一 物体的平均速度与瞬时速度 【例1】某质点沿曲线运动的方程为（x表示时间，表示位移），则该质点从x＝2到x＝3的平均速度为（ ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 【答案】A 【解析】由题得该质点从x＝2到x＝3的平均速度为．故选：A． 【变式1-1】一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】，， 因为物体在这段时间内的平均速度为， 所以，解得，故选：A 【变式1-2】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 【答案】D 【解析】该物体在时间段上的平均速度为 ， 当无限趋近于0时，无限趋近于3， 即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．故选：D 【变式1-3】已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【答案】D 【解析】∵物体做直线运动的方程为， 根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度， ∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．故选：D． 【变式1-4】如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度． 【答案】③④ 【解析】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①错误． 瞬时速度为切线斜率，故②错误． 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以，故③正确．同理④正确． 故答案为：③④． 题型二 函数的平均变化率与瞬时