5.2 导数的运算（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

5.2 导数的运算 一、基本初等函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 二、导数的运算法则 1、加减法： 2、乘法： 3、除法： 三、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 四、导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 题型一 求简单函数的导数 【例1】求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1），则 （2），则 （3），则 （4），则 【变式1-1】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，故选：A. 【变式1-2】下列各式正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据基本函数求导公式， ，故A错误；，故B错误； ，故C正确；，故D错误.故选：C. 【变式1-3】函数的导函数为______． 【答案】 【解析】由得， 故答案为： 【变式1-4】设，，，……，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，， ，，，……， 又因为， 故，故选：B． 题型二 求复合函数的导数 【例2】函数的导数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则故选：B． 【变式2-1】（多选）下列求导运算正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】A，因为，所以，故正确； B，因为，所以，故错误； C，因为，所以，故错误； D，因为，所以，故正确.故选：AD. 【变式2-2】求函数的导数． 【答案】 【解析】 【变式2-3】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （2）函数可以看作函数和的复合函数， ∴ . （3）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （4）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （5）函数可以看作函数和的复合函数， ∴ ． （6）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． 题型三 求导数值问题 【例3】若函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 令，则，解得， 所以，.故选：D. 【变式3-1】已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 .故选：C. 【变式3-2】已知函数，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为， 故可得， 令，则，故， 则.故选：. 【变式3-3】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，所以，所以， 所以， 所以，故选：A 题型四 求切线的方程或斜率 【例4】函数在处的切线的斜率为（ ） A．0 B．1 C．2 D．e 【答案】A 【解析】函数的导数， 由导数的几何意义，可知:在处的切线的斜率为.故选:A. 【变式4-1】设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 【答案】 【解析】由已知得， 由得． 故答案为：． 【变式