第九章 9．1　向量概念（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

第 9 章 平面向量 9．1 向量概念 课程标准 核心素养 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解 1．数学抽象：理解平面向量的概念和向量的几 何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平 平面向量的实际背景，理解平面向量的意 行向量、相等向量、共线向量等概念． 义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 2．逻辑推理：会区分平行向量、相等向量和共 线向量． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量的概念 【情境导入】 问题：1．如图，一只老鼠由 A 向东北方向以 2 m/s 的速度逃窜(路线为 AC)，猫在 B 处向正东方向以 6 m/s 的速度追去(路线为 BD).请问：猫是否能追到老鼠？ 2．质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 提示：1．老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线都有方向，虽然猫的速度比老鼠快，但方向不 一致，所以追不到老鼠． 2．质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向． 【知识概括】 (1)我们把既有大小又有方向的量叫作向量； (2)把只有大小没有方向的量称为数量． 【要点解读】 (1) 数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大小．如质量、长度、面积、体积、 年龄等都是数量． (2) 向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． [示例]1．下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B.身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对于②，∠AOB 的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选 B. [对点练]1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．正确 的 是 ( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 解析：选 D.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量． 知识点二 向量的几何表示 【情境导入】 问题：1．同学们，天气预报时，温度和相对湿度都只用一个实数就可以确切地表达，而 风的确切描述是什么方式？ 2．当有人向你问路时，你一般如何向对方描述目的地？ 提示：1．除了用一个实数说明“风力”外，还要给出“风向”，如东南风 3 级． 2．一般会告诉对方目的地的方向和大约距离． 【知识概括】 1．有向线段 (1) 定义：具有方向的线段叫作有向线段． → (2) 表示方法：以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB . (3) 长度：线段 AB 的长度也叫作有向线段→ 的长度，记作 → ． AB (4) 三个要素：起点、方向、长度． 2．向量的表示方法 |AB | (1) 用有向线段表示：用有向线段→ 表示的向量记作→ ．有向线段的长度 → 表示向 AB AB 量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． |AB | (2) 字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母 a，b，c，…表示向量，手写时，可写成带 ( a ) ( ， b ) ( c )箭头的小写字母→ → ，→ …. 3．向量的相关概念 向量的模 向量→ 的大小称为向量的长度(或称为模)，记作| → | AB AB 零向量 长度为 0 的向量称为零向量，记作 0，零向量的方向是任意的 ( 长度等于 1 个 单位长度 的向量，叫作单位向量 ) ( 单位向量 )【要点解读】 1. 有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．它与向量的区别和联系如下： 区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要 素．因此，这是两个不同的量．有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的． 联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个 向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段． 2. 零向量的长度为 0，方向不确定． 3. 单位向量有无数个，它们长度相等，但方向不一定相同．如果将平面上所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为 1 的圆． 4. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 知识点三 平行向量、相等向量、相反向量 【情境导入】 问题：1．上体育课时，当某一排同学整理好队形，并执行完老师的口令“向前三步走， 向右看齐”之后，同学们位移的方向是否相同？位移的大小是否相等？能否认为这些同学的位移是相同的？ 2．设 A，B 两点，“从 B 到 A 的位移”与“从 A 到 B 的位移”有什么关系？ 提示：1．这些同学位移的方向和大小都相等